从杠杆到量子 · 一部按时间走的物理学第 34 章 / 第六单元 · 原子与量子
第 34 章 · 1924—1932

量子力学的建立

八年之内，一群二十多岁的年轻人和几位中年教授写出了描述原子的新力学。它说电子是波，又说这波只告诉你概率。

阅读约 25 分钟两个可以动手的演示公式：3 个
序章第六单元 · 原子与量子 · 4 / 7终章

时代速写北海小岛上的花粉症

1925 年 6 月，23 岁的海森堡花粉症发作，脸肿得厉害。他向哥廷根大学请了假，去了北海上几乎没有花粉的黑尔戈兰岛1。

按他四十多年后在回忆录里的讲法，他在岛上散步、游泳、埋头计算。一天晚上，他发现自己设计的新方案里能量是守恒的，于是通宵算下去，回到大陆不久就写成了论文1。这个故事流传很广，2025 年量子力学百年纪念的国际会议也特意开在了这座岛上1。

历史学家对它要谨慎得多。海森堡自己在回忆录序言里说，书里写的不是每个细节都准确的历史，只想勾出大致的图景。同时代的证据只能确认他在岛上待了大约十天，论文的大部分工作很可能是在上岛之前和之后做的。他那几周写给泡利的信也说明，他对结果并没有把握，最后是把稿子交给老师玻恩，请玻恩决定值不值得投出去1。

这一章讲的就是这样一段集体的、混乱的、进展极快的历史。从 1924 年德布罗意说电子也是波，到 1932 年安德森在照片上看到反物质，前后只有八年。主角里年轻人特别多：1925 年海森堡 23 岁2，狄拉克也是 23 岁3，泡利提出不相容原理时 24 岁4,5。他们的老师和对手则是另一代人，玻恩 42 岁6，薛定谔写出波动方程时 38 岁7。1925 到 1927 年间，推进这门新理论的论文接近两百篇，作者里有许多今天已经没人记得的名字1。

  • 1924德布罗意在巴黎提交博士论文，提出电子这样的粒子也有波动性8。
  • 1925.1泡利寄出论文，提出不相容原理5。
  • 1925.7海森堡寄出“重新诠释”论文，矩阵力学由此开始；9 月玻恩和约尔丹、11 月三人合写，把它整理成完整的理论9。
  • 1925.11乌伦贝克和古兹密特提出电子自旋5。
  • 1926.1薛定谔把第一篇波动力学论文寄给《物理学年鉴》10,11。
  • 1926.6玻恩提出波函数给出的是概率12,6。
  • 1927海森堡提出不确定性原理13；戴维森和革末、G. P. 汤姆孙分别看到电子衍射14；10 月第五届索尔维会议在布鲁塞尔召开15。
  • 1928狄拉克写出相对论性的电子方程16。
  • 1931克诺尔和鲁斯卡造出第一台电子显微镜17；鲍林发表《化学键的本质》18。
  • 1932.8安德森在宇宙线云室照片里发现正电子19。

问题补丁摞补丁的旧量子论

第 32 章讲过玻尔 1913 年的原子模型：电子只能在几条特定的轨道上绕核转，从一条轨道跳到另一条，就放出或吸收一份光。第 33 章讲过，光本身也被证明是一份一份的。到 1920 年代初，这套“旧量子论”经过索末菲等人修补，已经相当复杂，可它能算准的原子只有氢和失去一个电子的氦。再多一个电子，计算就和光谱对不上了1。

毛病不止这一处。为什么只有角动量是整数倍的轨道才被允许？没人说得清，这是硬性规定的。玻尔模型能算出谱线的位置，却算不出谱线的亮暗。原子放进磁场里，谱线会分裂成一组，有些分裂方式（当时叫“反常塞曼效应”）怎么都解释不了。泡利 1922 年秋应玻尔之邀去哥本哈根，专门啃这个问题，没有啃下来20。

回头看，当时摆在面前的有两条路，后来分别有人走通了：

第一条路 · 整数从哪来物理学里自然出现整数的地方，是琴弦的振动：一根两端固定的弦，只能振出半波长的整数倍。也许电子的“允许轨道”也是某种波的驻波？德布罗意和薛定谔走的是这条路。
第二条路 · 轨道真的存在吗谁也没见过电子的轨道，实验里看到的只有原子发出的光的频率和亮度。那就干脆只用这些看得见的量来建理论。海森堡走的是这条路。

两条路出发点完全不同，1926 年却被证明通向同一个地方。

1924 — 1925电子是波，而且彼此不肯挤在一起

1924一位学历史出身的王子

路易·德布罗意（Louis de Broglie）出身法国贵族，1910 年先拿到的是历史学学位，后来才转学物理。第一次世界大战期间，他在军队的无线电部门服役，一直驻在埃菲尔铁塔，业余研究技术问题。战后他关注哥哥莫里斯的实验工作，自己专攻量子理论8。

1924 年，他在巴黎大学理学院提交博士论文《量子理论研究》（Recherches sur la Théorie des Quanta）8。思路来自一个简单的类比。他后来在诺贝尔演讲里说：原子里电子的稳定运动要用整数来确定，而在此之前，物理学中涉及整数的现象只有干涉和本征振动；所以，量子化的稳定条件应该像共振一样，整数在这里出现，就像在振动的弦和板上出现一样自然21。

既然爱因斯坦说过光这种波也是粒子，那么反过来，电子这种粒子也该是波。他给出的波长公式非常短：

λ = h ÷ p
λ
与粒子相伴的波的波长（米）
h
普朗克常数，6.63 × 10−34 焦耳·秒，第 33 章的主角
p
粒子的动量，质量 × 速度（千克·米/秒）
读法：动量越大，波长越短。一个 145 克的棒球以 40 米/秒飞行，波长约 10−34 米，比原子核还小二十个数量级，根本测不出来。一个经过 54 伏电压加速的电子，波长约 0.17 纳米，和晶体里原子之间的距离差不多。

最后这个数字很关键。晶体里整整齐齐排列的原子就像一块天然的光栅，如果电子真是波，打到晶体上就该出现衍射。1925 年埃尔萨瑟指出了这一点22，两年后真的有人看到了，后面会讲。

德布罗意的导师朗之万把论文寄给了爱因斯坦。爱因斯坦 1924 年 12 月 16 日回信说，德布罗意的论文给他留下了深刻印象，“他揭开了巨大面纱的一角”。同一天他写信给洛伦兹，说这是照到物理学最糟糕的那个谜题上的第一缕微光23。爱因斯坦随后在自己关于理想气体的论文里用上了这个想法23。五年后，德布罗意因为“发现电子的波动性”获得诺贝尔物理学奖8。

1925泡利：两个电子不能完全一样

同一时期，汉堡的沃尔夫冈·泡利（Wolfgang Pauli）在想另一个老问题：原子里那么多电子，为什么不全都挤到能量最低的那一层？玻尔早就在找一个统一的解释，说明为什么每一层电子“满了”就关上，第一层装 2 个，第二层装 8 个20。

1924 年秋，泡利提出电子身上有一种“经典物理无法描述的二值性”。1925 年 1 月 16 日，他寄出论文，题目就叫《论原子中电子群的闭合与光谱复杂结构的关系》20,5。规则只有一句：一个原子里，不能有两个电子的全部量子数都相同4。量子数可以理解为电子状态的“门牌号”，每个门牌只能住一个电子。

那个神秘的“二值性”是什么？1925 年 11 月，两位年轻物理学家乌伦贝克（George Uhlenbeck）和古兹密特（Samuel Goudsmit）提出：电子本身带有一种固有的转动，叫自旋，它只有两种取向。用这个假设，反常塞曼效应一下子就能解释了20,5。电子并不真像小陀螺那样在转，自旋是一种没有经典对应的量子性质，但“两种取向”正好就是泡利要的那个“二”。

把自旋算进去，第 n 层可以容纳 2n² 个电子：第一层 2 个，第二层 8 个，第三层 18 个。元素周期表一行一行的长度，从此有了物理上的理由。泡利原理后来被证明对原子核里的质子和中子同样成立，他因此获得 1945 年诺贝尔物理学奖4。

1925只谈看得见的东西：矩阵力学

沃纳·海森堡（Werner Heisenberg）在慕尼黑跟索末菲读博士，1923 年毕业后去哥廷根给玻恩当助手2。他想走第二条路：既然没人看得见电子的轨道，就不要假定玻尔的行星轨道真的存在。原子能被观测到的，只有它发出的光，也就是每两个能级之间跃迁的频率和强度2。

这些量天然是成对的：从第 1 级跳到第 2 级，从第 2 级跳到第 5 级……把它们排出来，就是一张有行有列的数表。海森堡用这样的数表代替了位置、速度这些经典量，再去找它们之间应该满足的运算规则。按他的规则把两张表相乘，先乘哪张，结果不一样：A 乘 B 不等于 B 乘 A24。

论文题目是《关于运动学和力学关系的量子理论重新诠释》，只有 15 页，1925 年 7 月 29 日寄到《物理学杂志》，9 月 18 日刊出1,9,23。玻恩读完立刻着了迷，他在大学里学过数学家的矩阵，认出海森堡的数表正是矩阵，而矩阵乘法本来就不满足交换律6,24。7 月 15 日，爱因斯坦收到玻恩的信：海森堡的新工作“看起来非常神秘，但一定是正确而深刻的”23。

玻恩拉上自己的学生帕斯夸尔·约尔丹（Pascual Jordan），几天之内就证明了他的猜想。两人 9 月 27 日寄出《论量子力学》；11 月 16 日，玻恩、海森堡、约尔丹三人又寄出一篇长文，后来常被叫作“三人论文”，历史学家雅默称它是矩阵力学基础的第一次全面阐述1,9,24。几乎同时，剑桥的研究生狄拉克在 1925 年夏天读到海森堡论文的校样，独立发展出一套数学上等价的方法25,3。

新理论接受的第一次考验是氢原子。1926 年 1 月，泡利用矩阵方法算出了氢原子的能级，和玻尔公式完全吻合24,26。这一次，整数是从运算规则里自己冒出来的，不需要人为规定。爱因斯坦读了海森堡的论文后对朋友埃伦费斯特说：“海森堡下了一个大量子蛋。”23

1933 年，海森堡独自领取了 1932 年度的诺贝尔物理学奖，获奖理由是“创立量子力学”2。他分别写信给玻恩和约尔丹，说很遗憾三个人没能一起得奖1。玻恩要到 1954 年才因另一项工作获奖。约尔丹始终没有获奖；他 1933 年加入了纳粹党，圣安德鲁斯大学的数学史传记认为这几乎肯定是原因之一27。

1926薛定谔方程，以及波到底是什么

海森堡的黑白半身照，约三十岁，穿西装，双臂交叉
海森堡，1933 年，那年他 31 岁，刚得知自己获得诺贝尔奖。矩阵力学是他 23 岁时开的头2。德国联邦档案馆，Bild 183-R57262，摄影者不详，CC BY-SA 3.0 DE · Wikimedia Commons
薛定谔的黑白肖像，戴圆框眼镜
薛定谔，1933 年诺贝尔奖官方照片。写出波动方程时他 38 岁，在苏黎世大学当教授7。诺贝尔基金会，公有领域 · Wikimedia Commons

1925—1926阿罗萨的圣诞假期

埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）生于维也纳，大学时就精于振动和本征值问题。他不满意玻尔理论里那条硬性规定的量子条件，相信原子光谱应该由某种本征值问题来决定7。所谓本征值问题，可以想成一面鼓：鼓皮只能以几种特定的方式振动，每种方式有自己确定的音高。

1925 年 11 月 3 日，他写信告诉爱因斯坦，几天前终于读到了德布罗意的论文10。他和爱因斯坦此前一直在通信讨论气体的量子统计，爱因斯坦在那些研究里已经用到德布罗意的物质波，这是他的灵感来源之一23。圣诞节，他去瑞士阿尔卑斯山的疗养地阿罗萨度假。根据他的书信推断，他就是在那里写出了描述电子波的方程；他先试了一个符合相对论的版本，算氢原子的精细结构对不上，于是改用不考虑相对论的形式10。1926 年 1 月 27 日，《物理学年鉴》收到他的论文《作为本征值问题的量子化》，3 月 13 日刊出10,11,23。同年他又发表了几篇续篇10。

薛定谔方程描述一种叫波函数（记作 ψ，读作“普西”）的东西怎样随空间和时间变化。完整写出来要用到微积分，这里不写。它最重要的推论是：电子被原子核束缚住的时候，只有某些特定形状的驻波能稳定存在，每一种对应一个确定的能量。氢原子的能级就这样作为本征值被算了出来，和光谱吻合。整数成了驻波必须“装得下”的自然结果，用不着另行规定。

看清这件事最简单的例子，是把一个电子关在一个一维的小盒子里，两壁之间宽度为 L。波在两壁处必须为零，就像琴弦两端被钉住，所以盒宽只能装下半波长的整数倍。由德布罗意公式可以直接算出允许的能量：

En = n² h² ÷ (8 m L²)
En
第 n 个允许状态的能量
n
1、2、3……盒子里装下的半波个数
m
电子的质量，9.11 × 10−31 千克
L
盒子的宽度
读法：能量和 n 的平方成正比，所以能级是 1 : 4 : 9 : 16 地往上排；盒子越小，能级越高、间隔越大。盒宽 1 纳米时，最低能量约 0.38 电子伏。
盒子里的电子演示 1 · 选一个能级，拖动滑块改变盒宽

先看 n = 1 到 n = 4：能级间隔越来越大，波函数的节点一个一个增加。再试试“1 和 2 叠加”，然后让时间走起来。单个能级是静止的驻波，电子不辐射，这正是玻尔当年只能硬性规定的事；两个能级叠加时，电荷分布开始来回晃动，晃动的频率正好等于两个能级之差除以 h。玻尔的跃迁规则，在这里成了波的拍频。把盒宽在 0.6 到 0.8 纳米之间调，n = 2 到 n = 1 放出的光会从紫色一路变到红色，这一点在本章最后还会用到。

1926两种力学，其实是一种

1926 年春天，物理学界忽然有了两套看起来毫不相干的理论：一套全是抽象的矩阵，一套是大家熟悉的波动方程。大多数物理学家更喜欢后者，因为它可以想象，计算也顺手。爱因斯坦 4 月给埃伦费斯特写信说，玻恩和海森堡那套东西大概终究不对，薛定谔则创造了一个非常聪明的理论，“不是那种恶魔般的机器，而是一个清楚的想法”23。

同年 3 月，薛定谔寄出论文，证明两种力学在数学上等价；6 月，美国的埃卡特（Carl Eckart）独立得到了同样的结论。今天多数学者认为两人的证明都不完整，严格的证明是冯·诺伊曼在 1920 年代末到 1930 年代初完成的1。两条路在这里会合，后来统称量子力学。

1926玻恩：波给出的是概率

可是 ψ 到底是什么？薛定谔希望它就是电子本身，电子是一团真实地弥散开的波，量子跃迁只是波形的连续变化。他一直不喜欢把粒子和波捆在一起、再加上概率的解释7。

玻恩从另一个方向想这个问题。他研究电子撞上原子后往哪个方向飞，用薛定谔方程算出散射出去的波。波向四面八方散开，可实验里探测器记到的永远是一个完整的电子，从不是“半个”。1926 年 6 月 25 日，他寄出短文《论碰撞过程的量子力学》，提出这个波决定的是电子朝各个方向飞出的概率12,24。更确切地说，波函数振幅的平方给出在某处找到粒子的概率密度28。演示里浅色的那条 |ψ|² 曲线，就是这个意思。

玻恩在诺贝尔演讲里说，这个想法是从爱因斯坦那里借来的：爱因斯坦曾把光波振幅的平方解释成光子出现的概率密度24。可爱因斯坦并不领情。1926 年底他给玻恩回信，说量子力学值得尊敬，但内心有个声音告诉他，这还不是真东西，“我无论如何相信，祂不掷骰子”23。这场争论要持续几十年，第 35 章专门讲。

概率诠释后来成了量子力学的基石。瑞典科学院 1954 年终于把诺贝尔物理学奖颁给玻恩，颁奖词说：薛定谔没有回答知道了波以后怎样说出粒子的位置和速度，玻恩的回答是，波决定测量结果的概率，所以量子力学只给出统计性的描述6。这时离他提出这个想法已经二十八年，他也早已在 1933 年被纳粹赶出德国，在爱丁堡教书直到退休6。

1927不确定、电子衍射与布鲁塞尔

1927海森堡的显微镜

1927 年初，海森堡在哥本哈根给玻尔当讲师2。他想回答一个问题：在新理论里，说“电子在某处、以某个速度运动”究竟还有什么意义？3 月 23 日，他寄出论文《论量子理论运动学与力学的直观内容》13。

他设想用一台显微镜去看电子在哪。要看清位置，得用波长很短的光；可光的波长越短，光子的动量越大，撞上电子时就把电子踢得越狠。位置测得越准，动量就被扰动得越厉害，两个误差的乘积大约是普朗克常数 h 的量级29。玻尔读后提出批评：关键不在于电子被撞了一下，而在于这一下撞多少，在同一个实验里根本无法确定。海森堡后来修改了论证29。也就在 1927 年初，玻尔在挪威滑雪度假时想出了他的互补原理29。

同年，美国物理学家肯纳德（Earle Kennard）给出了第一个数学上严格的表述29：

Δx · Δp ≥ h ÷ 4π
Δx
位置的不确定程度（统计上的标准差）
Δp
动量的不确定程度
h ÷ 4π
约 5.3 × 10−35 焦耳·秒
读法：一个被关在原子大小（0.1 纳米）范围里的电子，速度至少有每秒几百公里的不确定；一粒 1 克的小珠子被限定在 1 微米内，速度的不确定只有 10−26 米/秒的量级，完全察觉不到。

这条关系和演示 1 里的现象是同一件事：盒子越窄，电子的最低能量越高。电子不可能在一个有限的盒子里完全静止，因为那样它的位置和动量就同时确定了。

1925—1927一只爆炸的液态空气瓶

德布罗意的预言，是被两个本来不在找它的实验证实的。

克林顿·戴维森（Clinton Davisson）在纽约的西部电气公司实验室（后来的贝尔电话实验室）工作，从 1919 年起研究电子打到金属表面后怎样散射，1924 年起与莱斯特·革末（Lester Germer）合作30。1925 年 4 月，实验室里一只液态空气瓶意外爆炸，镍靶被严重氧化。为了清理，他们把靶长时间高温加热。再做实验时，散射电子的角度分布完全变了样。原因是加热让镍靶重新结晶：原来是许多细小的晶粒，现在变成了几块大晶体31。

戴维森起初并不知道这意味着什么。1926 年夏天，他去牛津参加英国科学促进会的会议，和玻恩、弗兰克等人讨论之后，才意识到他的数据可能和德布罗意波有关31,22。回到纽约，两人有意识地去找衍射束。1927 年初，先找到一个，接着又找到二十个。其中 19 个可以用来检验，每一个都在测量精度内符合 λ = h ÷ p22。他们用的电子，就是经过 54 伏电压加速、射向镍晶体的电子束22。4 月 16 日，《自然》刊出了他们的短文14。

同一时间，在苏格兰的阿伯丁，乔治·汤姆孙（G. P. Thomson）让电子穿过极薄的金属膜，也得到了衍射图样，6 月在《自然》发表30,14。他的父亲 J. J. 汤姆孙正是 1897 年证明电子是粒子的人。父亲证明它是粒子，儿子证明它是波，1937 年儿子和戴维森分享了诺贝尔物理学奖30。

1989一个一个地发射电子

戴维森们看到的是千千万万个电子一起造成的图样。如果一次只放一个电子，它还会干涉吗？1989 年，日立公司的外村彰（Akira Tonomura）团队把这个实验做得非常干净：电子以每秒大约 10 个的速度发出，装置里任何时刻最多只有一个电子；屏幕上起初只是到处随机出现的亮点，累积 20 分钟后，清楚的干涉条纹出现了32。

四幅黑底白点的照片，从稀疏的随机亮点逐渐累积成竖直的明暗条纹
单电子双缝实验，外村彰团队，日立公司，1989 年。按 b、c、d、e 的顺序看：b 里只有几百个亮点，看不出规律；c、d 点越来越多；到 e，竖直的明暗条纹已经清楚了。每个亮点都是一个完整的电子32。外村彰（Dr. Tonomura）与 Belsazar，CC BY-SA 3.0 · Wikimedia Commons

下面的演示按真实的公式复原这个过程。设想双缝间距 2 微米、缝宽 0.5 微米、屏在 1 米之外，电子的波长由加速电压决定。

一个一个电子打出的条纹演示 2 · 发射电子，改变电压，挡住一条缝

先单发几个，再连续发射。前几十个电子落点毫无规律，几千个之后，柱状图就贴着理论曲线长出了条纹。然后挡住一条缝：条纹消失，原来的暗纹位置反而有电子落下。每个电子都是一个一个到达的，可它落在哪里的概率，由同时穿过两条缝的波决定。电子到底“走了哪条缝”，第 35 章还会回来讨论。

1927.10布鲁塞尔的第五次索尔维会议

1927 年 10 月 24 日到 29 日，第五届索尔维物理会议在布鲁塞尔召开，主题是“电子与光子”，由洛伦兹主持15。到会的有居里夫人、普朗克、爱因斯坦、玻尔、玻恩、海森堡、泡利、狄拉克、德布罗意、薛定谔、康普顿、W. L. 布拉格等人15。这一章出场的人物，几乎都坐进了同一间会议室。

会上，W. L. 布拉格和康普顿报告实验，德布罗意、玻恩与海森堡、薛定谔分别介绍各自的新力学，玻尔讲他对量子公设的新看法15。新理论刚刚成形，它的哲学含义已经成了争论的焦点，玻尔和爱因斯坦就在这次会上交锋1。那是第 35 章的故事。洛伦兹在会后几个月去世，这是他最后一次主持这个会议15。

1928 — 1932狄拉克方程与反物质

保罗·狄拉克（Paul Dirac）生于英国布里斯托尔，大学先读电气工程，后来才转去剑桥学数学3。量子力学有一个明显的缺口：薛定谔方程不符合爱因斯坦的狭义相对论，而原子里的电子跑得并不慢。1928 年初，狄拉克发表了一个新的电子方程，把狭义相对论放进了量子力学3,16。

这个方程带来了两个意外。第一个是好消息：为了让方程满足相对论，他不得不引入一组新的变量，而这组变量自动给出了电子的自旋，大小是半个单位，磁性也和实验一致33。三年前乌伦贝克和古兹密特要靠假设才能引入的东西，这里从方程里自己冒了出来。

第二个意外是麻烦：方程同样允许能量为负的解。负能量的电子会不断往下掉、放出无穷多能量，这显然不对。狄拉克的办法很大胆：假定真空里所有负能态都已经被电子填满，每个状态一个，根据泡利原理别的电子再也挤不进去。偶尔有一个负能态空出来，这个“空穴”看上去就像一个带正电、质量和电子相同的粒子33。1930 年他提出了这个空穴理论，1931 年明确预言了这种“反电子”3,16,19。

几乎就在同时，加州理工学院的卡尔·安德森（Carl Anderson）在拍宇宙线。他 1930 年起和密立根一起研究从天而降的高能粒子34。他的云室高 17 厘米、宽 17 厘米、厚 3 厘米，放在一台能产生 24000 高斯磁场的电磁铁里；带电粒子穿过云室会留下一串雾珠，在磁场里拐弯，从弯曲方向能看出电荷正负，从弯曲程度能算出动量35。为了分辨粒子是从上往下还是从下往上飞，他在云室中间横放了一块铅板：粒子穿过铅板会损失能量，之后的轨迹弯得更厉害35。

圆形云室照片，中间一条横贯的黑色铅板，一条细弧形轨迹从下往上穿过铅板
第一张正电子照片，安德森摄于 1932 年 8 月 2 日。中间横贯的粗黑带是 6 毫米厚的铅板。看那条细弧线：铅板下方的一段比较直，上方的一段弯得更厉害，说明粒子是从下往上穿过铅板、损失了能量的，进入时约 6300 万电子伏，穿出后剩 2300 万电子伏。根据磁场方向，它带正电；可它在气体里留下的轨迹长度，远远超出同样弯曲程度的质子能走的距离，所以它比质子轻得多35,36。Carl D. Anderson，《物理评论》1933，公有领域 · Wikimedia Commons

1932 年 8 月 2 日拍下的这张照片，就是第一个被实验证实的反粒子19,34。安德森 9 月在《科学》上发表短文，次年在《物理评论》发表全文36。“正电子”（positron）这个名字是《物理评论》的一位编辑建议的。安德森并不是照着狄拉克的预言去找的，他本来只想弄清宇宙线由什么组成，后来才意识到这就是狄拉克说的那种粒子19。1933 年春，英国的布莱克特和奥基亚利尼用计数器自动触发的云室证实了正电子，还拍到一个光子变成一对正负电子的过程35,3。

1933 年，狄拉克和薛定谔分享诺贝尔物理学奖；1936 年，安德森获奖3,34。正电子遇到电子会湮灭，变成两个各约 50 万电子伏的光子35。今天医院里的正电子发射断层扫描（PET），就是让放射性示踪剂在体内放出正电子，再探测湮灭时朝相反方向飞出的那对伽马光子，第 41 章会接着讲37。狄拉克在 1933 年的诺贝尔演讲里还设想，也许有些恒星主要由正电子和反质子构成，甚至一半恒星都是这样33。宇宙为什么几乎只由物质构成，是第 42 章要讲的未解之谜。

影响它怎么改变了世界

量子力学是二十世纪大部分技术的底层理论。晶体管、激光、核能、原子钟各有专章，这里只追四条从本章直接长出来的线。

一 · 化学变成了可以计算的物理

两个氢原子为什么会结合成一个分子？1927 年 6 月，和薛定谔密切合作的海特勒（Walter Heitler）与伦敦（Fritz London）用薛定谔方程算出了答案：两个电子在两个原子核之间交换，产生吸引，原子核之间又互相排斥，两者在某个距离上平衡，于是键有了确定的长度和强度38,39。

当时正拿奖学金在欧洲随索末菲、薛定谔和玻尔学习的美国年轻化学家莱纳斯·鲍林（Linus Pauling），在慕尼黑认识了这两个人40,39。碳原子总是伸出四根等价的键，指向一个正四面体的四个角，甲烷就是这样，可按物理学家的电子壳层图像，碳的四个外层电子并不相同。鲍林 1928 年就宣布量子力学能解释四面体碳，但数学太复杂，三年都没写出详细论文39。1931 年 4 月 6 日，他在《美国化学会志》发表《化学键的本质》，提出杂化轨道，问题迎刃而解。他自己说这是“我做过最好的工作”18。1939 年他把这些想法写成同名专著，很快成为经典，1954 年他获得诺贝尔化学奖39,40。另一条路线是马利肯和洪德的分子轨道理论，马利肯 1966 年获诺贝尔化学奖39,41。

狄拉克 1929 年说过：大部分物理和全部化学的基本定律已经完全知道了，难处只在于方程太复杂，解不出来。1960 年代计算机开始用于求解这些方程，量子化学成了化学的一个分支；1998 年诺贝尔化学奖颁给了让这些计算变得可行的科恩和波普尔42。今天新药、电池材料、催化剂的设计，常常先在计算机里用量子力学算一遍。

二 · 周期表有了物理上的理由

化学家排出元素周期表时，只知道元素的性质会周期性重复，并不知道为什么。泡利原理加上自旋给出了答案：每个电子要占一个不同的状态，电子只能一层一层往外填，每层的容量是 2、8、18……最外层的电子数决定了元素怎样与别的原子成键4,20。钠和钾都只有一个最外层电子，所以都那么活泼；氖和氩外层填满，所以几乎不跟任何东西反应。中学化学课上画的电子排布图，就是这条线的直接后代。

三 · 电子显微镜：用更短的波去看

光学显微镜看不清比光的波长还小的东西，这是 19 世纪的阿贝就认识到的极限。柏林工业大学的年轻工程师恩斯特·鲁斯卡（Ernst Ruska）在研究用磁线圈给电子束聚焦，1931 年他和导师克诺尔造出了第一台电子显微镜17,43。他后来回忆，他们当时作为工程师根本不知道德布罗意的物质波；1931 年夏天第一次听说时，他很失望，以为电子显微镜的分辨率也要被波长卡住。用德布罗意公式一算，电子的波长比可见光短约五个数量级，他马上又放心了44。1933 年 8 月，他用 7.5 万伏加速电子的新显微镜首次在分辨率上超过了光学显微镜17,44。

西门子公司 1939 年推出了第一批商用电子显微镜；到 1945 年初约有 35 个机构装备了它，1954 年的型号后来进入了 1200 多个机构17。鲁斯卡 1986 年获得诺贝尔物理学奖17。这条线一直延伸到今天：冷冻电镜让生物分子在接近天然的状态下成像，1990 年第一次得到原子分辨率的蛋白质三维结构，2017 年获诺贝尔化学奖45。2020 年初，得克萨斯大学奥斯汀分校的团队在拿到新冠病毒基因序列后约四周，就用冷冻电镜重建了病毒刺突蛋白的原子尺度结构，2 月 19 日在《科学》发表，为疫苗设计提供了蓝图46。

一台黑色机柜上竖着一根金属镜筒的早期电子显微镜，下方有仪表盘
鲁斯卡 1933 年的电子显微镜，鲁斯卡本人 1980 年按原样复制，慕尼黑德意志博物馆展出。看中间那根竖直的金属镜筒：电子从顶端射出，依次穿过聚光镜、样品和两级放大用的磁透镜，向下打到观察屏上，放大倍数约 12000 倍。底部两块表头标着 mA 和 V，显示电流和加速电压17,44。J Brew 摄，CC BY-SA 2.0 · Wikimedia Commons
四 · 盒子里的电子，变成了屏幕上的颜色

演示 1 里，盒子越小，能级间隔越大，放出的光波长越短。把这个盒子做成纳米大小的半导体颗粒，就是量子点：同一种材料，颗粒大小不同，发出的颜色就不同。1980 年代初叶基莫夫在有色玻璃里、布鲁斯在溶液里先后证实了这种尺寸效应，1993 年巴文迪找到了大批制造近乎完美颗粒的方法，三人获得 2023 年诺贝尔化学奖。今天量子点用在 QLED 电视和显示器、一些 LED 灯里，还被用来帮助外科医生分辨肿瘤组织47。真实的量子点是三维的，能级公式比演示里的复杂，但“越小越蓝”的道理是同一个。

更大的一条线从 1928 年开始：布洛赫把量子力学用到晶体里成千上万的原子上48，由此发展出的能带理论，解释了为什么有的材料导电、有的绝缘、有的是半导体。晶体管和芯片都从这里出发，第 39 章细讲。

误解小岛、显微镜和预言

误解一 · 海森堡在黑尔戈兰岛上一夜之间发明了量子力学

这个故事只来自海森堡 1969 年的回忆录，他本人也说那不是逐字准确的历史。同时代证据只能确认他在岛上待了约十天，论文的大部分工作很可能在岛外完成，写完后他自己也没把握。把海森堡的数表变成一套完整理论的，是玻恩和约尔丹认出矩阵之后的工作，以及随后近两百篇论文1。量子力学是许多人在两三年里一起搭起来的。

误解二 · 不确定性原理是说测量会碰歪电子，或者仪器还不够好

海森堡 1927 年确实是用“显微镜的光子撞歪电子”来论证的，这个讲法流传最广。玻尔读后就指出，这个说法没抓住要害29。肯纳德同年证明的不等式讲的是另一回事：在任何一个量子态里，位置和动量的统计分布本身就不能同时都很窄29。它和仪器好坏无关，也不需要真的去测量。演示 1 里盒中电子不能静止，就是这个性质，盒子里并没有任何显微镜。

误解三 · 狄拉克预言了正电子，安德森照着预言去找到了它

这是一个“理论预言、实验证实”的完美故事，可惜顺序不完全是这样。安德森当时研究的是宇宙线的成分，并不知道狄拉克的理论，是在发表结果之后才意识到这就是狄拉克预言的粒子19。理论和实验在这里各走各的路，在 1932 年碰了头。

承上启下新力学之后

第 33 章结尾，德布罗意刚刚提出电子也是波。这一章看到，这个想法在八年里长成了一整套理论：泡利的不相容原理、海森堡的矩阵、薛定谔的波动方程、玻恩的概率、海森堡的不确定性关系，再到狄拉克把相对论也装了进去。电子衍射和正电子从实验上为它作了证。

在狄拉克方程这里，第五单元的相对论和第六单元的量子论第一次会合，会合的结果是反物质。另一条会合线通向化学和材料：海特勒、伦敦和鲍林把化学键变成了量子力学问题，布洛赫把电子放进了晶体，这条线要到第七单元的第 38、39 章才会展开。

理论造好了，能算、能用，可它的意思还没有吵完。概率是不是最后的答案？在没人测量的时候，电子究竟在哪里？下一章从 1927 年的索尔维会议讲起，看玻尔和爱因斯坦怎样就这些问题争论了将近三十年，以及这场争论怎样在半个世纪后变成了实验室里可以检验的问题。

自测五个问题

1. 德布罗意为什么会想到电子是波？他的公式是什么，为什么在日常生活里看不到物体的波动性？
他注意到，原子中电子的稳定状态要用整数来确定，而物理学里自然出现整数的现象是干涉和振动（比如琴弦的驻波）；再加上爱因斯坦已经说明光这种波也是粒子，他就反过来推测粒子也是波。公式是 λ = h ÷ p。日常物体的动量太大，波长小到 10−34 米这样的量级，远远测不出来。
2. 海森堡和薛定谔走的是哪两条不同的路？最后结果如何？
海森堡不假定电子轨道存在，只用原子发光的频率和强度这些可观测量，排成数表并找出运算规则，玻恩和约尔丹认出这就是矩阵（乘法不可交换）。薛定谔从德布罗意的物质波出发，写出波函数满足的方程，把能级当作驻波的本征值来算。1926 年薛定谔和埃卡特分别证明两者等价，后来由冯·诺伊曼严格完成，统称量子力学。
3. 在演示 1 里，盒宽从 1 纳米缩小到 0.5 纳米，最低能级会怎样变化？这和不确定性原理有什么关系？
能量与盒宽的平方成反比，盒宽减半，能级变成 4 倍（约从 0.38 电子伏升到 1.5 电子伏）。位置被限制得越紧，动量的不确定就越大，电子就越不可能静止，最低能量也就越高。这正是 Δx·Δp ≥ h/4π 的体现。
4. 单电子双缝实验说明了什么？挡住一条缝之后为什么条纹消失？
电子总是一个一个、在一个点上被探测到，表现得像粒子；但大量电子的落点分布出干涉条纹，落在各处的概率由波函数的平方 |ψ|² 决定，这就是玻恩的概率诠释。条纹来自通过两条缝的波互相叠加；只开一条缝，就没有叠加，只剩单缝衍射的宽包络，原来暗纹的位置反而会有电子落下。
5. 狄拉克方程预言了什么？安德森是怎样判断照片上的粒子带正电又很轻的？
方程自然给出了电子的自旋，并允许负能量解，狄拉克由此提出空穴理论，预言一种质量与电子相同、带正电的粒子。安德森在磁场中的云室里横放一块 6 毫米铅板：轨迹在铅板一侧弯得更厉害，说明粒子从那一侧穿出、损失了能量，由此确定运动方向；再由磁场中的弯曲方向判断它带正电；它在气体中的径迹长度远超同样弯曲程度的质子所能走的距离，所以比质子轻得多。

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图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。

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