从杠杆到量子 · 一部按时间走的物理学第 33 章 / 第六单元 · 原子与量子
第 33 章 · 1859—1924

量子的诞生

一只烧红的炉子发出什么颜色的光，这个看似平常的问题，怎样迫使物理学家承认能量是一份一份的，光也是一颗一颗的。

阅读约 28 分钟两个可以动手的演示公式：3 个
序章第六单元 · 原子与量子 · 3 / 7终章

时代速写柏林，1900 年 10 月 7 日，星期天

这天下午，实验物理学家海因里希·鲁本斯（Heinrich Rubens）到马克斯·普朗克（Max Planck）家里做客。闲谈中，鲁本斯提到他和同事刚测到的一组数据：在很长的红外波段，热辐射的强度和温度成简单的正比1。

普朗克那年 42 岁，是柏林大学的理论物理教授，接的是基尔霍夫留下的讲席2。他琢磨热辐射已经好几年了。客人走后，他当天就凑出了一个新公式，晚上写在一张明信片上寄给鲁本斯1。鲁本斯拿去和自己的数据一比，处处吻合。十二天后，10 月 19 日，在德国物理学会的例会上，鲁本斯的合作者库尔鲍姆报告了这批测量，普朗克以讨论发言的形式把公式公布了出来1,3。

这个公式后来被叫作普朗克辐射定律。可普朗克自己并不满意，他说它充其量是“一个侥幸选中的插值公式”4。为了弄明白它为什么对，他又苦干了几个星期，在 12 月 14 日交出了一个连他自己都没太当真的假设：能量是一份一份交换的5,6。这一章讲的是这个假设怎样从一个算账用的技巧，在二十多年里一步步变成物理学的地基；以及它怎样在今天变成你屋顶上的太阳能板和手机里的摄像头。

  • 1860基尔霍夫证明，空腔里的热辐射只取决于温度和波长，与器壁是什么材料无关7,4。
  • 1896维恩发表黑体辐射公式，与短波测量吻合8。
  • 190010 月 19 日普朗克公布辐射公式，12 月 14 日提出能量元 ε = hν5,6。
  • 1902勒纳发现，光打出的电子的能量与光的强弱无关9,10。
  • 1905爱因斯坦提出光由一份一份的“光量子”组成，并用它解释光电效应9,11。
  • 1907爱因斯坦把量子用于固体，解释金刚石的比热为什么在低温下降12,13。
  • 1911第一届索尔维会议在布鲁塞尔召开，主题是“辐射理论与量子”14。
  • 1916密立根发表光电效应的精密测量，证实爱因斯坦的方程，却仍不相信光量子15,16。
  • 1923康普顿发现 X 射线被电子散射后波长变长，只能用光子与电子的碰撞来解释17,18。
  • 1924玻色只用光量子推出了普朗克公式；德布罗意提出电子也有波动性3,19。

1859 — 1900问题：炉膛里的颜色

一块金属在电炉里烧到六百摄氏度左右，会发出微弱的暗红光；在炼钢炉里烧到高得多的温度，光就变得亮白，甚至带点蓝色1。颜色和温度之间有一种稳定的关系。19 世纪的物理学家想把这种经验变成一条精确的定律。

1860基尔霍夫留下的题目

第 17 章讲过，基尔霍夫在海德堡和本生一起发明了光谱分析。同一时期，他还证明了另一件事：如果一个空腔的器壁处处温度相同，腔里的热辐射就只由温度和波长决定，和器壁是铁、是陶瓷还是别的什么都没有关系7,4。他把能吸收一切照到它上面的光的理想物体叫作黑体。实际中，黑体可以用一只内壁涂黑的空心炉子来近似，只在炉壁上开一个小孔，从孔里漏出来的光就是黑体辐射1。

这意味着存在一个“普适函数”：给定温度，每种波长发出多少能量，全宇宙都一样。普朗克后来在诺贝尔演讲里说，找出这个函数，多年来就是他的目标；他相信这个函数能揭示能量与温度之间最深的联系4。

1893 — 1896一家为工业设立的研究所

把这个函数测出来的地方在柏林的夏洛滕堡：帝国物理技术研究所（Physikalisch-Technische Reichsanstalt，简称 PTR）4。它由亥姆霍兹主持，是为研究工业问题设立的，也是德国的计量标准机构，今天德国国家计量院的前身8,1。一家管工业标准的机构去测一个看似纯理论的函数，因为照明和高温测量都离不开它。

威廉·维恩（Wilhelm Wien）当时在这里工作。1893 年他发现：温度升高时，辐射最强的那个波长会向短波方向移动8。这就是维恩位移定律，可以写得非常简单：

λ峰 × T ≈ 2.9 毫米·开
λ峰
黑体辐射最强的波长
T
黑体的绝对温度（开尔文，K）。0 °C 约等于 273 K
2.9 毫米·开
一个常数。今天的精确值是 2.897 771 955 毫米·开20
读法：温度翻倍，峰值波长减半。太阳表面约 5772 K21，峰值在 2.9 毫米 ÷ 5772 ≈ 502 纳米，是绿光；人体约 310 K，峰值在 9 微米左右的红外。

有了这条定律，看颜色就能读出温度。维恩的诺贝尔奖传记专门写了一句：这项理论工作出自一个研究技术问题的机构，又反过来带出了照明和高温测量的新技术8。1896 年，维恩更进一步，写出了整条辐射曲线的公式，和 PTR 当时的精密测量吻合得很好8,5。普朗克则在 1899 年用热力学给维恩公式找到了一个推导，他相当满意5。

1899 — 1900长波那一头出了问题

满意没有维持多久。PTR 的卢默（Otto Lummer）和普林斯海姆（Ernst Pringsheim）把测量推向更长的波长。1899 年 11 月，他们的数据在长波处已经和维恩曲线对不上5；到 1900 年初，他们在 12 到 18 微米、300 到 1650 K 的范围里确认了偏离1,3。

鲁本斯和库尔鲍姆（Ferdinand Kurlbaum）走得更远。普通光源和棱镜在那么长的波长上几乎不管用，他们利用萤石和岩盐晶体的“剩余射线”：让热辐射在晶体表面反复反射，最后只剩下一段很窄的远红外波段4。用这种办法，他们测到了 30 到 60 微米，温度一直到约 1500 °C1,3。结果和维恩公式差得很明显，长波处的辐射强度简单地与温度成正比4,1。这就是 10 月 7 日鲁本斯在普朗克家里说的事。

黑体辐射为什么难测

测量要同时做好三件事：造一个温度均匀、能加热到上千度的空腔；把它发出的光按波长分开；再把每一小段波长里那点微弱的热量量准。长波红外最难，因为它肉眼看不见，玻璃也不透，只能用特殊晶体和灵敏的测热仪器。普朗克后来说，正是这些实验者的工作，让决断来得“这样快、这样明确”4。

1900普朗克：一个插值公式和一次“绝望之举”

普朗克的黑白肖像，约 1910 年，双臂交叉站在书房里
马克斯·普朗克，约 1910 年，柏林摄影师杜尔科普（Rudolf Dührkoop）摄。1900 年他 42 岁，是柏林大学的理论物理教授，专长是热力学2,5。Rudolf Dührkoop 摄，公有领域 · Wikimedia Commons
年轻的爱因斯坦坐在伯尔尼专利局的办公桌旁，穿格子西装
阿尔伯特·爱因斯坦，1904 或 1905 年，伯尔尼。他的朋友沙旺（Lucien Chavan）拍下这张照片时，他还是专利局的技术员。光量子论文就写在这段时间。Lucien Chavan 摄，伯尔尼历史博物馆藏，公有领域 · Wikimedia Commons

一个痴迷熵的人

要明白普朗克 12 月做了什么，先要知道他是一个什么样的物理学家。他的博士论文写的是热力学第二定律，此后二十多年，他的心思几乎全在“熵”这个概念上5。熵大致可以理解为一个系统“乱”的程度，第二定律说孤立系统的熵只增不减。普朗克相信这是一条绝对的定律。奥地利的玻尔兹曼主张熵是大量原子乱动的统计结果，第二定律只在概率意义上成立，普朗克长期不接受。1882 年他甚至写过，原子论最终恐怕要放弃5。

他研究黑体辐射，原本也是为了第二定律。他设想腔壁上有许多小小的带电振子，每个只会按一个频率振动，它们吸收和放出电磁波，和腔里的辐射达成平衡。因为基尔霍夫已经证明结果与材料无关，选最简单的振子模型就够了4。普朗克的计划是：先算出单个振子的熵怎样随能量变化，再由此推出辐射公式4,5。

10 月两头凑出来的公式

维恩公式在短波处对，鲁本斯的新数据在长波处给出另一种简单关系。普朗克在诺贝尔演讲里坦白了他的做法：实验给出了两个极限，在一般情况下，最省事的办法就是把这两种关系加在一起，小能量时第一项为主，大能量时第二项为主，“这样就找到了新的辐射公式”4。10 月 19 日的公式就是这样来的。美国物理学会的回顾说，会上大家认为它无可争辩地正确，普朗克自己却只把它看成一次“幸运的猜测”6。

12 月 14 日把能量切成小块

为了给公式找到真正的物理基础，普朗克不得不转向他一直回避的玻尔兹曼。按玻尔兹曼的思路，熵和“一个状态有多少种实现方式”有关。普朗克在这期间第一次写出了后来刻在玻尔兹曼墓碑上的那个式子 S = k log W5,9。W 是方式的数目，要数出 W，就得数清楚一份总能量有多少种办法分配给许多个振子。

连续的量没法“数”。普朗克于是假设，能量是由“完全确定数目的有限的相等部分”组成的，每一份的大小等于一个新常数乘以振子的频率5。12 月 14 日，他在德国物理学会宣读了这个推导5,6，完整的论文次年刊在《物理学年鉴》上22。这就是本章的第一个公式：

E = h ν
E
一份能量的大小（焦耳）
ν
频率，每秒振动多少次（赫兹）。希腊字母，读作“纽”。对光来说，频率越高，波长越短，颜色越偏紫
h
普朗克常数。普朗克 1900 年算出 6.55×10−27 尔格·秒5，换成今天的单位是 6.55×10−34 焦耳·秒，与今天的精确值 6.626 070 15×10−34 只差约 1%20
读法：能量的最小份额与频率成正比。频率翻倍，一份能量也翻倍。h 小得惊人，所以日常生活里感觉不到能量是“一份一份”的。

同一个推导里还冒出了另一个常数 k，今天叫玻尔兹曼常数。普朗克用它和已知的气体常数一起，算出了一个电子的电荷是 4.69×10−10 静电单位。几年后卢瑟福和盖革靠一个一个数 α 粒子，测得 4.65×10−10。普朗克说，这个吻合是他的理论有用的决定性证据4。

“纯粹形式上的假设”

普朗克本人怎么看他的能量子？三十年后，1931 年，他在给美国物理学家伍德（Robert W. Wood）的信里回忆：转向概率论证是“一次绝望之举”；至于把能量分成一份份，那是“纯粹形式上的假设，我并没有多想，只是无论付出什么代价，都必须得出一个正面的结果”9,5。

他的行动和这段回忆对得上。1901 到 1906 年，他没有再发表任何关于黑体辐射或量子的文章；1906 年出版的《热辐射理论讲义》里，他用的是一种不提振子能量离散的连续理论5。直到 1908 年前后，在荷兰物理学家洛伦兹的分析影响下，他才相信作用量子是古典物理无法理解的东西5。科学史家库恩据此认为，普朗克 1900 年根本没有提出“振子能量只能是 hν 的整数倍”，这个看法在史学界争论至今5,23。比较稳妥的说法是：h 是普朗克引进的，它的革命意义要靠别人来点破。1919 年，普朗克领取了 1918 年的诺贝尔物理学奖，授奖理由写的是“发现能量子”24。

就在普朗克凑公式的同一年 6 月，英国的瑞利勋爵用古典物理里的“能量均分定理”算了一下腔里的辐射，得到的强度随频率的平方无限增长，与实验完全不合；1905 年金斯修正了他公式里的系数5,3。按这个“瑞利—金斯公式”，一只炉子在紫外和更短的波段会放出无穷多的能量。1911 年，埃伦费斯特给这个荒谬的结论起了个名字，叫紫外灾难5。下面的演示把三条曲线放在一起。

三条黑体辐射曲线演示 1 · 拖动温度，或点预设

纵轴会随温度自动缩放，所以每条曲线都完整地画在框里。把温度从 2700 K 拉到 10000 K，看峰值怎样从红外移进可见光、再移到紫外，这就是维恩位移定律。再看那条虚线：在右边的长波区，它和普朗克曲线贴得很近，这正是鲁本斯测到“强度与温度成正比”的地方；往左走，它越来越离谱，最后冲出图外。普朗克公式在短波处被一个指数因子压了下去，原因就是能量必须整份整份地给出：频率越高，一份 hν 越大，热运动越难凑出这么大一份，高频的振动就几乎激发不起来。

标着 2700 K 的那一档值得多看一眼。今天超市里卖的暖白色 LED 灯，包装上也印着 2700 K，意思是它的颜色和加热到 2700 K 的黑体最接近25。

1887 — 1913爱因斯坦：光本身就是一份一份的

普朗克的量子只用在振子身上，光本身仍然被当作连续的电磁波。把量子推到光本身的，是伯尔尼专利局一个 26 岁的技术员。他的证据来自一个和黑体完全不同的现象。

1887赫兹注意到的怪事

第 24 章讲过，赫兹用火花间隙产生并探测电磁波。1887 年他注意到，用紫外光照射金属电极，火花更容易跳过间隙26,27。后来查明，这是光把电子从金属表面打了出来，人们把这叫作光电效应9。

1902 年，德国物理学家勒纳（Philipp Lenard）仔细测量了被光打出的电子。他发现电子的能量和光的强弱“没有丝毫关系”，即使光强变化上千倍也一样；他还定性地看到，电子能量随光的频率增高而增大9,10。按照波动理论，这完全说不通：光越强，波的振幅越大，电子应该被摇得越猛，能量应该越大；频率倒不该有什么特别的作用9。不同金属还各有一个门槛，光的频率低于它，再亮也打不出电子28。勒纳 1905 年因阴极射线研究获得诺贝尔奖29，后来成了纳粹时期“雅利安物理”的鼓吹者之一1。

1905“非常革命”的一篇论文

1905 年 3 月 18 日，《物理学年鉴》收到爱因斯坦的论文《关于光的产生和转化的一个启发性观点》9,11。两个月后，他给朋友哈比希特写信，预告自己这一年要寄出的四篇论文。说到这一篇，他写道：它讨论辐射和光的能量性质，“非常革命”9。另外三篇里有布朗运动和狭义相对论，他只把“革命”这个词给了这一篇。

他的论证很巧妙。他没有用普朗克的完整公式，而是只用维恩公式，也就是只在高频区成立的那一半。他算出：一团单色辐射的熵随体积变化的方式，和由 n 个互相独立的粒子组成的气体一模一样9。由此他大胆推论，低密度的单色光在热力学上表现得“好像由互相独立的能量子组成”；光的能量在空间里不是连续铺开的，它由有限个局限在空间各点的能量子组成，这些能量子运动时不分裂，只能整份地被吸收或产生9。有趣的是，这篇论文里根本没有出现符号 h，爱因斯坦用的是另一组常数，换算下来正好是 hν23。

接着他把这个想法用在光电效应上。一个光量子撞上金属里的一个电子，把全部能量 hν 交给它；电子要逃出金属，得先付一笔“出门费”，叫逸出功 W，剩下的就是它的动能9：

K最大 = h ν − W
K最大
逃出来的电子最多能带多少动能。有的电子在出来之前已经撞掉了一些能量，所以这是上限
hν
一个光量子的能量
W
逸出功，把一个电子从这种金属里拉出来至少要花的能量。钠约 2.75 电子伏，铜约 4.65 电子伏30
读法：电子的最大能量随频率直线上升，斜率就是 h，和光有多亮无关。hν 小于 W 时，一个电子也出不来；光更亮，只意味着每秒来的光量子更多，打出的电子更多。

一个光量子只能把能量交给一个电子，所以门槛是由单个光量子的能量决定的，许多个弱的光量子凑不成一个强的。这一条把勒纳的三个怪现象一次解释清楚，还多给出了一个可以检验的预言：把不同频率下电子的最大能量画成图，应当是一条直线，斜率对所有金属都一样，等于普朗克的 h9。在下面的演示里试一试。电子伏是一个方便的能量单位：一个电子被 1 伏电压加速后获得的能量。

光电效应演示 2 · 选金属，调波长和亮度，再开灯

先选钠，把波长慢慢调长：过了 451 纳米左右，电子就没了，这时把亮度开到最大也没用。再换成铜，它的门槛在 267 纳米的紫外区，普通可见光一个电子也打不出来。这就是为什么赫兹当年要用紫外光。右边的四条线互相平行，这是爱因斯坦方程最硬的预言：不管什么金属，直线的斜率都是同一个 h。

1905 — 1913没人相信

普朗克当时把能量子看成凑公式的数学技巧28，现在一个专利局技术员说光本身就是一颗一颗的，物理学界几乎没人接受。光的干涉和衍射已经被研究了一百年，第 16 章讲过，杨氏双缝的明暗条纹只有波才能解释。一颗一颗的光量子怎么会互相干涉？

1913 年，普朗克、能斯特、鲁本斯和瓦尔堡联名推荐爱因斯坦进入普鲁士科学院。推荐信对他赞不绝口，说现代物理的大问题里几乎没有一个他没有作出过重要贡献；接着补了一句：他在思辨中有时可能偏离了目标，比如他的光量子假说，但这不能过分怪他，因为不冒风险就不可能引入真正的新思想31。这是当时最有分量的一批物理学家对光量子的正式评价：一个可以原谅的错误。

1907比热：量子第一次用在物质上

真正让同行开始认真对待量子的，反而是爱因斯坦另一篇不太出名的论文。1819 年以来，人们知道大多数固体每摩尔的比热差不多都是同一个数，约 6 卡/开，叫杜隆—珀蒂规则；古典物理用能量均分定理能推出这个数，可也因此没有任何余地允许例外3。偏偏碳等少数固体是例外，而且温度越低，比热越小3。

1907 年，爱因斯坦把固体里的每个原子看作按同一频率振动的振子，再假设它们的能量也只能一份份地取 hν。低温时热运动凑不出一整份，振动就被“冻住”，比热随之下降3,13。这个简单模型解释了金刚石的比热为什么在降温时明显下降12。能斯特和他的学生正在测量低温下物质的比热4，1910 年他指出爱因斯坦的公式符合他提出的热定理3。化学家和热学家这才发现，量子不只是黑体辐射里的怪事。这篇论文当时对同行的冲击，比 1905 年的光量子大得多12。

1911布鲁塞尔的“女巫的安息日”

比利时工业家索尔维出钱，在布鲁塞尔召集了二十位物理学家，1911 年 10 月 30 日到 11 月 3 日专门讨论“辐射理论与量子”14。爱因斯坦在给朋友贝索的信里说，自己得中断工作，去布鲁塞尔参加一场“女巫的安息日”14。科学史家克拉格认为，这次会议标志着量子论从少数人的话题变成了物理学的一个正式领域；不过与会者当时还不认为量子和原子结构有什么关系5。

1911 年第一届索尔维会议合影，二十多人围着一张堆满文件的长桌，有人坐有人站
第一届索尔维会议，布鲁塞尔，1911 年 11 月初，库普里（Benjamin Couprie）摄。会议主题是“辐射理论与量子”14。照片里的人分别属于本章的好几个故事。Benjamin Couprie 摄，公有领域 · Wikimedia Commons
  • 站着的人里，左起第二位是普朗克，第三位是鲁本斯，就是 1900 年 10 月那个星期天去他家做客的人。
  • 站着的人里，右起第二位是 32 岁的爱因斯坦。
  • 坐着的人里，右边低头看文件的女士是居里夫人，她右边侧身大笑的是彭加勒。
  • 据 Wikimedia Commons 的说明，坐在桌边的出资人索尔维拍照时并不在场，他的像是事后拼贴上去的。

1916 — 1924证据：不信的人量出了 h

1916密立根和他的“真空机械车间”

芝加哥大学的罗伯特·密立根（Robert Millikan）以测量电子电荷的油滴实验出名，第 32 章讲过。光电效应他从 1905 年就开始做，一做就是十年15。难点在于金属表面：表面一旦氧化变脏，测出来的数据就靠不住。他的办法是一套被他叫作“真空中的机械车间”的装置：在抽成真空的玻璃容器里装一把旋转的刀，从外面用电磁铁操纵，每次测量前把金属表面刮出新茬，再用单一波长的光去照15。电子的动能用一个反向电压来量：电压加到多大，最快的电子也刚好被拦住15。

1916 年 3 月发表的结果毫不含糊：在不同频率下，钠等金属的电子最大能量排成一条直线，斜率给出 h = 6.57×10−27 尔格·秒，精度约 0.5%15,16,32。这是当时最准的 h，和今天的精确值相差不到 1%。

可同一卷《物理评论》里，密立根在另一篇论文的第一句就写道，爱因斯坦的光电方程“目前在我看来不能被看作建立在任何令人满意的理论基础上”15。他把光量子叫作“大胆的，或者说鲁莽的假说”：鲁莽，是因为一个始终局限在一小块空间里的电磁扰动违背了电磁扰动的概念，而且它公然和干涉这一确立无疑的事实作对31。方程对了，他接受；方程背后的图像，他不接受。到 1923 年领诺贝尔奖时，他仍然说爱因斯坦得到方程所依据的局域光量子概念“远未确立”32。

爱因斯坦的诺贝尔奖也带着同样的分寸。1921 年的物理学奖颁给他，理由是“对理论物理的贡献，特别是发现了光电效应定律”27。获奖的是“定律”，也就是那个方程，光量子的概念并没有写进去。那一年评审委员会认为所有提名都不够格，按章程把奖保留了一年，1922 年才颁给他27。

1922 — 1923康普顿：X 射线撞电子

说服大多数物理学家的，是一个更像台球的实验。阿瑟·康普顿（Arthur Compton）1920 年到圣路易斯的华盛顿大学任教，他后来说，选这样“一个小地方”，是为了不被当时流行的想法带着走18。他用钼靶发出的 X 射线（波长 0.708 埃，1 埃是 0.1 纳米）照射一块石墨，再用晶体分光计测散射出来的 X 射线的波长18,33。

按古典的电磁理论，电子被入射波带着振动，再把同样频率的波辐射出去，散射线的波长应当不变33。康普顿测到的散射线却分成两部分：一部分波长不变，另一部分波长变长了；换用不同波长的 X 射线，波长的增加量总是一样的33。1922 年 11 月，他给学生画了一张图：一个光子撞上一个静止的电子，两者都弹开，能量和动量都守恒18。把光子当成带着能量 hν 和相应动量的小球来算，波长的变化就是 h 除以电子质量和光速的乘积，再乘上一个只与散射角有关的因子17,18。在 90° 方向上，钼的 X 射线波长大约变长 3%。

论文 1923 年 5 月发表在《物理评论》上17。荷兰物理学家德拜几乎同时独立推出了同样的理论，但他一直承认康普顿在先18。这个图像还有一个附带预言：每散射一个光子，就该有一个电子被撞飞。几个月内，英国的威尔逊在云室照片里看到了这些反冲电子的短径迹，德国的博特也找到了它们33,18；1925 年博特和盖革证明，散射光子和反冲电子是同时出现的，能量和动量在每一次碰撞里都守恒18。康普顿在 1927 年的诺贝尔演讲里说：在这里，我们不把 X 射线看作波，而看作光的微粒，“或者我们可以叫它们光子”33。“光子”这个名字是美国化学家刘易斯 1926 年起的3。此后，物理学界普遍接受了光有时表现为粒子3。

1924达卡来信，和一个更大胆的猜想

1924 年 6 月 4 日，英属印度达卡大学的玻色（Satyendra Nath Bose）给爱因斯坦寄去一篇短文，请他看看是否值得译成德文发表。文章只用光量子和统计方法，不借助任何古典电磁理论，就推出了普朗克公式3。据研究者转述，这篇文章此前被英国的《哲学杂志》退过稿3。爱因斯坦亲自把它译成德文，送到《物理学杂志》发表34,3，又把这套数粒子的新办法推广到原子组成的气体上，这就是今天的玻色—爱因斯坦统计3。距离普朗克的插值公式，正好过了二十四年，黑体辐射终于只用“光是一颗颗粒子”推了出来。

同一年，法国的德布罗意（Louis de Broglie）在博士论文里提出了一个反方向的猜想：既然光这种波有粒子性，电子这样的粒子是不是也有波动性19？这个问题属于下一章。

概念一份光有多大

E = hν 里的 h 小到什么程度？算几个数就知道了。光子的能量用电子伏表示最方便，波长按纳米算，有一个好记的近似：能量 ≈ 1240 ÷ 波长20。

  • 红光 · 650 纳米约 1.9 电子伏

    不够把钠里的电子拉出来，所以红光打不出光电子。

  • 紫光 · 400 纳米约 3.1 电子伏

    够钾、钠，不够锌、铜。

  • 紫外 · 250 纳米约 5 电子伏

    连铜也能打出电子。赫兹当年用紫外光，道理在此。

  • 康普顿的 X 射线 · 0.0708 纳米约 17 500 电子伏

    是可见光光子的五六千倍，撞上石墨里的电子时，电子几乎可以当成自由的35。

一支 1 毫瓦的红色激光笔，每个光子约 3×10−19 焦耳，每秒就要发出约 3×1015 个光子。一个接一个的颗粒密到这个程度，眼睛和普通仪器只能感到连续的光流，就像远看沙丘感觉不到沙粒。这也是为什么光的颗粒性直到 20 世纪才被发现：它只在单个光子和单个电子打交道的时候才露出来，光电效应、康普顿散射都是这种场合。

门槛为什么只看频率

可以把光电效应想成一台只收单枚硬币的自动售货机。逸出功是商品的价格，一个光子是一枚硬币，面值由颜色决定。投进一枚面值不够的硬币，机器原样吐回；投一万枚也一样，因为它不会把几枚硬币加起来算。面值够了，商品掉出来，多出的钱作为找零，也就是电子的动能。亮度只决定你往里投硬币的速度，所以只影响掉出商品的数量。

波还是粒子

密立根的困惑并没有因为康普顿而消失。光通过双缝依然会产生干涉条纹，这只有波才能解释；光打在金属和电子上，又表现为一颗一颗的粒子。普朗克在 1920 年的诺贝尔演讲里把这个难题说得很清楚：一个光子放出之后，它的能量是像惠更斯的波那样向四面八方散开、越来越稀，还是像牛顿的微粒那样朝一个方向飞？若是前者，它就不可能把能量集中到一点上打出一个电子；若是后者，麦克斯韦理论对干涉现象的完美解释就得牺牲4。到 1924 年，这个两难仍然悬着。解决它需要一套全新的力学，那是第 34 章的事。

h 变成了尺子

普朗克 1900 年从辐射数据里算出 h 的时候，它只是一个拟合出来的系数。一百多年后，它成了度量衡的地基。2019 年起，国际单位制把普朗克常数规定为精确的 6.626 070 15×10−34 焦耳·秒，再用它来定义千克20。序章说过，巴黎保险柜里那块金属千克原器从此退休。量子世界最小的那一份能量，成了称量日常世界的尺子。

影响它怎么改变了世界

光电效应把光变成电，黑体辐射让光变成温度计。这两件事各自长出了一串产业。

一 · 光电管：让电影开口说话

把一块容易放出电子的金属封进真空玻璃管，再放一个收集电子的电极，光照多强，电流就多大。这种光电管是光电效应最早的大规模应用。电影就是靠它开口说话的：1923 年，德福雷斯特演示了把声音用光学方式记录在胶片边上的办法，声音的强弱变成胶片上一条明暗变化的“声带”；放映时，一束光穿过声带照到光电管上，产生的电信号送进扬声器36。1927 年带着几段对白的《爵士歌手》上映，有声电影时代开始，不过这部片子用的是唱片同步放音；后来片上光学声带胜出，成了行业通用的办法36。

同一个原理今天还在夜视仪里工作。夜视仪的像增强管前端有一层光阴极，把夜里极微弱的光转换成电子图像，电子经过一块微通道板被大量倍增，再打到荧光屏上变回人眼能看见的光37。

一只 20 世纪 40 年代的光电管，竖立的玻璃管内有一片弯曲的金属板，旁边放着一枚一欧元硬币作比例
一只 20 世纪 40 年代的光电管，旁边的 1 欧元硬币直径约 2.3 厘米。看玻璃管里那片弯成半圆筒状的金属片，这类管子通常就是用它作光阴极，光照在上面打出电子，由中间竖着的细杆收集。Antonio Pedreira 摄，公有领域 · Wikimedia Commons
二 · 太阳能电池：从玩具摩天轮到全球发电量的 7%

太阳能电池用的是光电效应的一个近亲：光子不把电子打出材料，只是在半导体内部给电子一脚，让它挣脱原子的束缚；材料里一个叫 p-n 结的内建电场把电子推向一边，就形成了电流38。1839 年法国人贝克勒尔就观察到光照能产生电流；1883 年的硒电池效率不到 1%38。转机来自贝尔实验室：工程师查宾想为潮湿偏远地区的电话线路找一种不怕坏的电源，化学家富勒和物理学家皮尔逊恰好做出了掺杂的硅片。1954 年 4 月 25 日，贝尔实验室在新泽西州默里山公开演示，用一组“太阳能电池组”驱动一个玩具摩天轮和一台无线电发射机，效率约 6%38。《纽约时报》说，这也许标志着一个新时代的开始38。

第一批硅电池太贵，最早的大用户在太空。1958 年 3 月 17 日发射的“先锋 1 号”是第一颗用太阳能电池的卫星，直径 16.5 厘米，表面六块电池给一台信标发射机供电，一直工作到 1964 年 5 月；它至今仍在轨道上，是在轨时间最长的人造物体39。七十年后，2024 年，太阳能光伏发电约占全球发电量的 7%，当年新增的发电量比任何其他电源都多40。

三 · 数码相机：把每个像素变成一口接电子的井

1969 年 9 月，贝尔实验室的博伊尔和史密斯在黑板上画出了电荷耦合器件（CCD）的草图41。诺贝尔委员会的解释是：CCD 利用的正是爱因斯坦解释过的光电效应。光照到硅片上，把电子从原子里打出来，这些电子被收集在一个个小格子里，好像一口口井；光越多，井里的电子越多。加上电压，各个井里的电子一行一行地往外传，最后变成数字，每口井就是一个像素41。

1970 年他们就用 CCD 做出了摄像机，1981 年第一台内置 CCD 的相机上市41。天文学也随之改观：哈勃望远镜的照片、火星表面的照片都是 CCD 拍的41。1990 年代，美国喷气推进实验室的福苏姆为了把航天器的相机做小、做省电，发明了 CMOS 有源像素传感器，每个像素自带放大电路；到 2013 年，全世界每年生产超过十亿个，几乎所有数码相机和手机摄像头都用它42。2009 年，博伊尔和史密斯获得诺贝尔物理学奖41。你手机里那块指甲盖大的传感器，上千万个像素同时在做光电效应实验。

一块方形硅 CCD 芯片装在金色电路板上，放在黑色泡沫衬垫的盒子里
一块 1024×1024 像素的 CCD，2000 年制造，美国国家航空航天博物馆藏。中间灰色的方块就是感光的硅片，约一百万个像素排成方阵；四周金色的引脚把各口“井”里的电荷读出来。它和 1995 年发射的太阳观测卫星 SOHO 上极紫外望远镜用的探测器是同一类43。Smithsonian National Air and Space Museum，CC BY 4.0 · Wikimedia Commons
四 · 用颜色读温度

黑体辐射这条线没有变成某一种机器，而是变成了一种测量办法。维恩的工作带出了照明和高温测量的新技术8：东西热到温度计伸不进去的时候，看它发出的光是什么颜色、各个波长有多亮，对照黑体曲线就能推算温度。灯具行业也用黑体来描述光的颜色，叫“色温”：一只标着 2700 K 的灯，颜色最接近加热到 2700 K 的黑体，偏暖黄；黑体越热，颜色从红、橙、黄、白一路变到蓝25。演示 1 右上角那个小圆，画的就是这种颜色。

误解乌云、灾难和诺贝尔奖

误解一 · 普朗克是为了解决“紫外灾难”才发明了量子

许多教科书这样讲：古典物理推出瑞利—金斯公式，在紫外区算出无穷大，普朗克为了挽救局面引入了量子。克拉格称这个版本“更接近童话，而不是历史”5。时间线对不上：瑞利 1900 年 6 月只给出了一个简短的说明，带系数的完整公式要到 1905 年才由瑞利和金斯写出；“紫外灾难”这个词是 1911 年埃伦费斯特起的5,3。普朗克并不承认能量均分定理是基本原理，他的推导出发点是修正自己 1899 年对维恩公式的推导，和紫外发散无关5,23。真正推动他的是 PTR 在长波红外的测量，问题出在曲线的另一头。

误解二 · 开尔文在 1900 年说“物理学已经没有新东西可发现，只剩更精确的测量”

这句话流传很广，但在开尔文 1900 年的演讲和他的其他著作里都找不到。物理教育研究者帕松（Oliver Passon）追查后认为，它更可能来自美国物理学家迈克耳孙 1894 年的一段话，后来被安到了开尔文头上23。开尔文 1900 年 4 月 27 日在伦敦皇家研究院确实讲过“两朵乌云”：第一朵是以太和物体的相对运动，第二朵是能量均分定理，他用了 45 段来讨论它，其中提到它解释不了某些比热的测量23。他并没有提到黑体辐射。驱散第二朵乌云的，是爱因斯坦 1907 年的比热理论23。

误解三 · 爱因斯坦因为相对论获得诺贝尔奖

他的诺贝尔奖理由是“对理论物理的贡献，特别是发现了光电效应定律”，相对论一个字也没提27。有点讽刺的是，他后来做的诺贝尔演讲，讲的恰恰是相对论9。

误解四 · 密立根想证明爱因斯坦错了，结果被实验说服，皈依了光子

前一半有他自己的话作依据：1923 年的诺贝尔演讲里，他说结果“与我自己的预期相反”32。后一半不对。《物理评论》1999 年的回顾文章指出，很难在他 1916 年前后的论文里找到“预期落空”的痕迹；他接受方程，却明确拒绝光量子的图像，到 1923 年仍然说这个概念“远未确立”15,32。直到 1950 年出版自传，他才把这段经历写成“实验简单而无可辩驳地证明了光子”。那篇回顾的结论是：密立根把自己复杂的经历，重新想象成了教科书里的简单故事15。

承上启下两个老问题，在这里会合

第 17 章结尾留下两个问题：黑体发光的颜色分布是什么形状，每种原子为什么只发那几条谱线。上一章讲了第二个问题的答案：玻尔在 1913 年把普朗克的作用量子放进原子里，电子只能待在几条由量子条件选定的轨道上，从一条跳到另一条时放出一个光子，这把巴耳末的氢光谱公式推了出来4。这一章补上了第一个问题，也补上了玻尔模型里那个光子的来历。光学单元和原子单元在这里会合：光谱、黑体、光电效应，原来都是“能量一份一份交换”这一件事的不同侧面。

第 18 章已经提前用过这一章的成果。爱因斯坦 1916—1917 年用新办法重新推导普朗克公式时，发现了受激辐射9，四十多年后它变成了激光。从炉膛里的颜色，到激光、太阳能板和手机摄像头，中间的环节都是 h。

到 1924 年，“旧量子论”已经积累了一大堆成功，却没有一套自洽的理论：光为什么既是波又是粒子，电子为什么只能待在某些轨道上，没人说得清。下一章，德布罗意的物质波、海森堡的矩阵、薛定谔的方程和玻恩的概率，会在短短几年里把这些碎片拼成量子力学。

自测五个问题

1. 1900 年把普朗克推向新公式的，是什么样的实验结果？
PTR 的卢默、普林斯海姆以及鲁本斯、库尔鲍姆在长波红外的测量。他们发现维恩公式在长波处失效，那里辐射强度与温度成正比。普朗克把维恩公式适用的短波极限和这个长波极限拼在一起，得到 10 月 19 日的公式。古典的“紫外灾难”在这件事里并没有起作用。
2. 普朗克为什么要把能量分成一份一份的？他自己当时怎么看这一步？
为了用玻尔兹曼的方法计算熵，他需要数出一份总能量分配给许多振子有多少种方式，连续的量没法数，所以把能量切成大小为 hν 的有限份。他后来回忆说这是“纯粹形式上的假设”，是“绝望之举”；此后几年他也没有把它当成物理实在来宣传。
3. 用钠做光电效应实验，把红光调得非常亮，能打出电子吗？换成很暗的紫外光呢？
红光不行。红光光子约 1.9 电子伏，小于钠的逸出功约 2.75 电子伏；一个电子只能吸收一个光子，再多的红光光子也凑不起来。很暗的紫外光可以，每个光子能量足够，只是每秒打出的电子少。
4. 密立根 1916 年的实验证实了什么？他相信了什么、又不相信什么？
他证实电子最大动能随光的频率直线上升，斜率等于 h，测得 h = 6.57×10⁻²⁷ 尔格·秒，精度约 0.5%。他接受爱因斯坦的方程，却称光量子是“鲁莽的假说”，直到 1923 年仍认为局域光量子的概念远未确立。
5. 你手机摄像头里的传感器和 1905 年的哪篇论文有关？它怎样把光变成照片？
和爱因斯坦的光量子与光电效应论文有关。光子照到硅片上把电子从原子里打出来，电子被收集在每个像素的小“井”里，光越强电子越多；读出电路把每口井里的电子数变成数字，拼成照片。CCD 获 2009 年诺贝尔奖，今天手机多用 CMOS 传感器，原理相同。

参考来源本章依据

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图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。

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