从杠杆到量子 · 一部按时间走的物理学第 28 章 / 第五单元 · 时空与宇宙
第 28 章 · 1907—1960 年代

广义相对论

引力为什么会让钟变慢、让光拐弯？爱因斯坦花了八年把这个想法写成方程，此后几代人一直在检验它，最后它装进了你的手机。

阅读约 27 分钟两个可以动手的演示公式：3 个
序章第五单元 · 时空与宇宙 · 3 / 5终章

时代速写伯尔尼专利局里的一把椅子

1907 年底，瑞士伯尔尼专利局的审查员爱因斯坦接到一份约稿。物理学家斯塔克请他为自己主编的《放射性与电子学年鉴》写一篇长文，总结两年前提出的相对论1,2。

写综述，就得把理论的边界交代清楚。第 27 章讲过，1905 年的狭义相对论只处理匀速运动，而且完全没有提到引力。可是宇宙里到处都有引力，苹果落地、月亮绕地球、行星绕太阳，牛顿的平方反比定律已经管了两百多年。新理论要和它相容，必须给引力找一个位置。

十五年后，1922 年 12 月在日本京都的一次演讲里，爱因斯坦回忆当时的情景：他坐在专利局的椅子上，忽然想到，一个自由落下的人，感觉不到自己的重量。他吃了一惊，这个简单的思想实验后来把他引向了引力理论3。道理不难体会：下落的人和他身边的东西一起往下掉，他松手放开一个苹果，苹果就停在他手边，好像引力消失了。爱因斯坦后来把这称作“我一生中最快乐的想法”1,3。这些都是事后多年的回忆，1907 年当时并没有留下这样的记录。

那篇综述的第五部分，把这个想法写成了一条原则，后来叫做等效原理。由它出发，爱因斯坦当年就推出了两个奇怪的结论：在引力场里，位置越低的钟走得越慢；光线经过有引力的地方会弯曲1。从这里到写出完整的理论，他又走了八年。

  • 1859勒威耶发现水星近日点每世纪多转了约 38 角秒，牛顿力学解释不了4。
  • 1907爱因斯坦提出等效原理，预言引力会让钟变慢、让光弯曲1。
  • 1911在布拉格算出星光掠过太阳会偏折 0.83 角秒，建议在日全食时检验5。
  • 1912—1913回到苏黎世，和数学家格罗斯曼合作，引入弯曲空间的数学，发表“纲要”理论1,6。
  • 191511 月，在柏林连续四周向普鲁士科学院提交论文，算出水星的 43 角秒，写出最终的场方程1。
  • 19195 月 29 日日全食，英国两支观测队赴巴西和西非；11 月 6 日在伦敦宣布结果7。
  • 1936在一位业余爱好者催促下，爱因斯坦发表引力透镜的短文8,9。
  • 1960庞德与雷布卡在哈佛一座 22.5 米的塔楼里测出光的“重量”10,11。
  • 1964夏皮罗提出第四项检验：雷达信号擦过太阳会迟到10。
  • 1977GPS 试验卫星 NTS-2 上天，星上原子钟证实了相对论预言的快慢12。

问题牛顿引力的两道裂缝

到 20 世纪初，牛顿的引力理论看上去无懈可击。第 5 章讲过，1846 年勒威耶靠它算出了海王星的位置4。可就在这位天文学家手里，另一颗行星留下了一道细小的裂缝。

1859水星多转的那一点点

行星绕太阳走的是椭圆，椭圆上离太阳最近的点叫近日点。如果太阳系里只有太阳和水星，按牛顿力学，这个椭圆会一圈一圈原样重复，近日点固定不动。实际上其他行星也在拉水星，椭圆因此会慢慢转动，近日点一点点向前挪。

1859 年，勒威耶发表了新的水星运动理论。他用了巴黎天文台 1801—1842 年间 397 次子午观测和 14 次水星凌日的记录。把其他行星的拉扯全部算进去之后，观测和计算还是差了一点：水星的近日点每世纪多转了约 38 角秒4。1882 年，美国天文学家纽康用更好的数据重新计算，得到 42.95 角秒4。今天的数值是每世纪 43 角秒左右4,10。

这个差额小得惊人。水星近日点每世纪总共转约 574 角秒，其中 531 角秒都能用其他行星的引力解释13。剩下的 43 角秒，相当于 0.012 度。照这个速度，多出来的这部分要积累约三百万年才能转满一圈。可那时的观测已经精确到能确认它真实存在。

勒威耶的第一反应和他找海王星时一样：一定还有一颗没被发现的行星，藏在水星和太阳之间。这颗假想的行星被命名为“祝融星”（Vulcan）13。此后几十年，有人找祝融星，有人设想太阳附近有一圈小行星，有人怀疑太阳不够圆，还有人干脆修改平方反比定律，都没有成功4,10。

引力传得比光快？

第二道裂缝来自理论内部。狭义相对论认为，任何信号都不能比光跑得快。牛顿的引力公式里却没有传播速度这个量：太阳一动，远处的地球立刻就能“感到”。两套理论放在一起，说法互相冲突。1907—1915 年间，亚伯拉罕、诺德斯特伦和爱因斯坦等人都在尝试写出一个符合相对论的引力理论，彼此争论了好几年4。

一个被当作巧合的事实

还有一件事，牛顿时代就知道，却一直没人深究。在同样的引力下，铁球、木球、羽毛（在真空里）落得一样快。用牛顿的话说，决定一个物体受多大引力的“引力质量”，恰好等于决定它多难被推动的“惯性质量”。为什么会这样，牛顿力学不解释，只把它当成一个经验事实。

匈牙利物理学家厄缶（Eötvös）从 1889 年起用扭秤反复检验这件事，发现不同材料之间找不出差别4,10。今天的检验更加极端：法国空间研究中心的 MICROSCOPE 卫星让钛和铂两种材料在轨道上“一起下落”，2022 年公布的最终结果显示，两者的加速度在 10−15 的精度上相同14。

牛顿把这当作巧合。爱因斯坦把它当作线索。

1907 — 1915八年弯路

1907封闭电梯里的人

把“自由落下的人感觉不到重量”换个说法：想象你关在一个没有窗户的电梯里。电梯停在地面上，你站在地板上，手里的球松开就往下掉。现在把电梯搬到远离一切星球的太空里，用火箭让它每秒加速 9.8 米每秒。你同样被地板托着，球同样往“下”掉，掉得一样快。只靠电梯里的实验，你分不出自己是在地球上，还是在加速的火箭里。

这就是等效原理：在一个小范围里，引力和加速运动的效果无法区分。前面那个“巧合”在这里就变得理所当然了：在加速的电梯里，铁球和羽毛都停在原处，是地板追上了它们，所以它们“落”得一样快。

爱因斯坦随即用这台想象中的电梯推出两件事1：

  1. 光会弯。一束光从电梯左壁水平射向右壁。电梯在向上加速，光走的这段时间里地板往上追，所以在电梯里的人看来，光打到右壁时位置偏低，路径是弯的。既然加速和引力分不出来，引力也应该让光弯曲。
  2. 低处的钟慢。从地板向天花板发一个光信号，信号在路上时，天花板在加速远离，接收到的频率会变低。换到引力场里，就是低处的钟比高处的钟走得慢。爱因斯坦估算，太阳表面发出的光，波长会变长大约两百万分之一1。

1911布拉格：0.83 角秒

此后三年，爱因斯坦的主要精力在别的问题上。1911 年他到布拉格任教2，在那里重新拾起引力，写了《论引力对光传播的影响》。文中算出：一束星光擦着太阳边缘经过，会被偏折 0.83 角秒5。他意识到这可以在日全食时检验：月亮挡住太阳，太阳附近的星星就能拍下来，和夜里拍的同一片星空比一比，看星星的位置有没有往外挪1。柏林的年轻天文学家弗罗因德利希（Freundlich）对此很感兴趣，开始四处张罗观测7。

这个 0.83 角秒后来被证明只算对了一半。它和把光看作一颗颗小粒子、直接用牛顿引力算出来的结果相同5,7。德国天文学家索尔德纳（Soldner）早在 1801 年就用牛顿力学做过这样的计算，英国的卡文迪什也算过但没有发表，爱因斯坦当时并不知道10,7。

1912“格罗斯曼，你得帮我”

马塞尔·格罗斯曼的肖像照片，留胡须，穿深色西装，下方手写签名 Prof. Dr. M. Grossmann
马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann，1878—1936），苏黎世联邦理工学院（ETH）数学教授。注意照片下方的手写字样“Prof. Dr. M. Grossmann”。他和爱因斯坦是大学同学，爱因斯坦常借他的课堂笔记备考15。ETH-Bibliothek Zürich 图片档案，公有领域 · Wikimedia Commons

1912 年 8 月，爱因斯坦回到母校苏黎世联邦理工学院当教授6。他已经确信，引力问题需要一种新的几何。这里要先说明什么叫“弯曲的几何”。在一张平纸上画三角形，三个内角加起来是 180 度。在地球仪上，从赤道出发，沿两条经线一直走到北极，再加上赤道的一段，得到的三角形内角和超过 180 度。曲面上有自己的几何规则。19 世纪的数学家黎曼把这套规则推广到了任意维数的弯曲空间。

爱因斯坦对这套数学并不熟悉。据另一位同学科尔罗斯在 1955 年回忆，爱因斯坦有一天对格罗斯曼说：“格罗斯曼，你得帮我，不然我要疯了！”6 这是四十多年后的回忆，原话未必一字不差。格罗斯曼翻查文献，发现爱因斯坦需要的数学工具早已存在：除了黎曼的几何，还有意大利数学家里奇和列维-奇维塔发展的“绝对微分学”，也就是今天的张量演算1,6。爱因斯坦在一封信里说，自己从此对数学产生了巨大的敬意15。

研究者后来细读了爱因斯坦这段时间的“苏黎世笔记”，发现 1912 年底他已经写下了和最终答案非常接近的方程，却因为它看上去推不回牛顿引力，又把它放弃了6。这一放就是近三年。

1913—1914一份“纲要”和一场被战争打断的日食

1913 年，爱因斯坦和格罗斯曼联名发表《广义相对论和引力理论纲要》，学界通常简称“纲要”（Entwurf）理论。它已经把引力写成了时空几何，但为了能回到牛顿引力，放弃了一个关键要求，即方程在任意坐标系下形式都不变（数学上叫“广义协变”）1,6。爱因斯坦和老朋友贝索用纲要方程算水星的近日点，得到的数只有观测差额的约 5/12，也就是 18 角秒左右6。

1914 年，爱因斯坦迁居柏林1。同年夏天有一次日全食经过克里米亚，弗罗因德利希带着设备去了俄国。他刚到，第一次世界大战爆发，德国天文学家成了敌国公民，被俄方扣押。美国利克天文台的坎贝尔也去观测这次日食，赶上下雨7。光线偏折的第一次检验就这样落空了。

1915十一月的四篇论文

1915 年秋天，爱因斯坦终于放弃了纲要理论，回到广义协变的方程。哥廷根的数学家希尔伯特这时也在攻同一个问题，这让他格外着急1。11 月，他每周向普鲁士科学院提交一篇论文，日期是 4 日、11 日、18 日和 25 日，每一篇都修正前一篇的错误1。

11 月 18 日的那篇里，他用新理论计算水星，结果正好是每世纪 43 角秒，不需要祝融星，也不需要任何新假设1,10。物理学家兼传记作者派斯记下了爱因斯坦的反应：他说自己“好几天高兴得忘乎所以”；对福克尔说，这个结果让他心悸；对德哈斯说，算出来的那一刻，感觉身体里有什么东西“啪”地一声断开了13。按新理论，光线偏折的预言变成了 1911 年那个数的两倍10,7。11 月 25 日，他提交了最终形式的引力场方程1。

谁先写出了方程

希尔伯特的论文是 11 月 20 日提交的，比爱因斯坦的最后一篇早五天，1916 年 3 月才刊出。很长一段时间里，不少人据此认为希尔伯特先得到了场方程16。

1997 年，科学史家科里、雷恩和斯塔赫尔在《科学》杂志上发表了一项档案研究。他们找到希尔伯特论文的第一份校样，印刷所的日戳是 1915 年 12 月 6 日。这份校样里的理论不是广义协变的，也没有写出场方程的显式形式；而爱因斯坦的论文在 12 月 2 日已经印出16。校样有一部分被剪掉了，所以仍有少数人表示怀疑。科学史家肯尼菲克的看法是：希尔伯特在 12 月 6 日之后的修改里，加进了爱因斯坦论文中的最终形式，同时加了承认爱因斯坦基本思想的说明17。目前学界的主流看法是，这套理论的物理思想属于爱因斯坦，希尔伯特用变分方法推导方程的数学工作也有独立的价值17,16。

概念引力就是时空的弯曲

牛顿说：太阳用一种力拉着地球。爱因斯坦说：没有这种力。太阳的质量让周围的时空弯曲，地球只是在弯曲的时空里走一条“最直”的路。数学上，这种弯曲空间里最直的路叫测地线。

用地球仪想一想。两个人站在赤道上，相距一百公里，都朝正北走，谁也不拐弯。他们会发现彼此越来越近，到北极时撞在一起。如果他们不知道地球是圆的，就会以为有一股力把两人拉到了一起。真正的原因是球面弯曲。广义相对论认为，引力就是这么回事，只不过弯的是四维的时空。

物理学家惠勒后来把这套理论压缩成一句话：时空告诉物质怎样运动，物质告诉时空怎样弯曲18。前半句说的是测地线，后半句就是 1915 年 11 月 25 日的那组方程：

Gμν = 8πG⁄c4 · Tμν
Gμν
爱因斯坦张量：描述某一点附近的时空弯曲成什么样子
Tμν
能量—动量张量：那里有多少物质、能量，它们怎样流动、产生多大压力
G
牛顿的万有引力常数
c
光速
μν
两个下标，各取时间和三个空间方向，所以这实际上是一组方程，独立的有 10 个
读法：左边是几何，右边是物质。系数 8πG/c⁴ 在国际单位里约为 2×10−43，小得惊人，说明时空非常“硬”，要有一颗恒星那么多的物质，才能把它弯出能测到的程度。

这组方程的完整解法超出了高中代数，但它在弱引力下给出的两个结果，可以直接读。

第一，时间被弯曲。在地球表面附近，高处的钟比低处的钟走得快。快多少，由下面这个式子决定：

Δf ⁄ f ≈ g h ⁄ c2
Δf ⁄ f
两台钟频率的相对差别，也就是高处的钟每走 1 秒，比低处多走的那一点
g
重力加速度，地面上约 9.8 米/秒²
h
两台钟的高度差（米）
c
光速，约 3×108 米/秒
读法：高度差 1 米，频率差约 1.1×10−16。这个数小到日常完全感觉不到，但它和高度成正比，卫星在两万公里高处时，效应就大到必须修正了。

引力红移和钟变慢说的是同一件事。从低处射向高处的光，在高处的钟看来频率变低了，颜色往红端偏，所以叫“红移”。在地面附近的弱引力里，苹果往下落，主要就来自时间在不同高度流得快慢不同，空间本身的弯曲贡献很小。

第二，光走的路被弯曲。光掠过太阳时受两方面影响：时间的弯曲和空间的弯曲。只考虑前一项，得到的就是爱因斯坦 1911 年的 0.83 角秒，也是把光当作粒子、用牛顿引力算出来的值；1915 年的完整理论把空间弯曲也算进去，结果翻了一倍10。所以，测出光线偏折的大小，就能区分两种引力观。这正是 1919 年那次日食要回答的问题。

1917 — 19221919 年的日食：底片和争议

1917一位天文学家的提议

战争期间，英国和德国之间几乎断了学术往来。广义相对论能传到英国，靠的是中立国荷兰的天文学家德西特，剑桥天文学家爱丁顿在 1916 年通过他读到了这个理论7。

真正把检验落到实处的是英国皇家天文学家戴森。1917 年 3 月，他在《皇家天文学会月报》上发表文章指出：1919 年 5 月 29 日的日全食发生时，太阳正好位于金牛座的毕星团前面7。用戴森团队的戴维森后来的话说，黄道上再没有别的星场有这么多亮星19。日食时太阳旁边能拍到的星越多、越亮，测量就越可靠。

观测的主力选了爱丁顿。他是贵格会信徒，以良心为由拒绝服兵役，在戴森斡旋下才获得豁免7。肯尼菲克指出，爱丁顿是坚定的和平主义者，希望战后英德两国科学家能够和解，由英国人去验证一位德国物理学家的理论，在他看来正是这样的机会19。

1919两支队伍，两种天气

为了防备坏天气，戴森派了两支队伍7：

  • 索布拉尔巴西东北部的小城。格林尼治天文台的克罗姆林和戴维森带去两台望远镜：一台 13 英寸的天体照相仪（口径缩到 8 英寸使用），一台作为备份的 4 英寸望远镜7。
  • 普林西比西非几内亚湾的小岛。爱丁顿和助手科丁厄姆带去牛津天文台天体照相仪的物镜7。
巴西索布拉尔的日食观测设备：前方两面圆形的定天镜，后面两根望远镜筒伸进帆布棚里
索布拉尔的观测设备，1919 年。看画面左前方装在支架上的圆形反射镜，这是定天镜，它跟着天空缓缓转动，把星空的像稳定地反射进后面固定不动的望远镜里；两台望远镜各配一台7。后面的镜筒伸进帆布棚里。C. Davidson 摄，公有领域 · Wikimedia Commons

普林西比当天云层很厚。爱丁顿拍了 16 张底片，只有 7 张上有星7。索布拉尔天气晴好，全食持续 5 分 13 秒，4 英寸望远镜拍了 8 张，每张有 7 颗星；天体照相仪拍了 19 张，有 12 颗星7。七个星期后，同一片星空在夜里升起，观测队在原地又拍了一组对比底片7。

测量的难处在于数字太小。1.75 角秒是太阳正边缘处的偏折，日冕的光会淹没那里的星星；实际拍到的星，离太阳中心大多在两个太阳半径以外，偏折还要按距离成反比地缩小7。对当时的望远镜来说，1.75 角秒在底片上约 0.03 毫米；离太阳中心三个半径的星，偏折只有 0.58 角秒，约 0.01 毫米7。

偏折和掠过距离的关系，就是本章的第三个公式：

δ = 4 G M ⁄ ( c2 b )
δ
光线被偏折的角度（弧度）
M
太阳的质量
b
光线离太阳中心最近的距离
G, c
万有引力常数和光速
读法：b 等于太阳半径时，δ ≈ 1.75 角秒10；距离加倍，偏折减半。按牛顿式的算法，分子上的 4 要换成 2，结果只有一半。

下面的演示把这个效应放大了约两万五千倍，好让眼睛看得见。拖动滑块，让光离太阳远一些或近一些。

掠过太阳的星光演示 1 · 拖动滑块改变掠过距离
1919 年 5 月 29 日日全食照片：黑色月盘周围是明亮的日冕，右上方有几道短横线标出恒星位置
1919 年 5 月 29 日的日全食，发表在戴森、爱丁顿、戴维森 1920 年的报告里。日冕周围的星太暗，印刷品上几乎看不出来，图上用几道短横线标出了它们的位置（看右上角）。F. W. Dyson, A. S. Eddington, C. Davidson，公有领域 · Wikimedia Commons

11 月 6 日伦敦的联席会议

结果在 1919 年 11 月 6 日皇家学会和皇家天文学会的联席会议上公布7。戴森和克罗姆林代表索布拉尔队报告：4 英寸望远镜的 7 颗星给出太阳边缘处的偏折为 1.98±0.12 角秒；天体照相仪的星像模糊，可能是定天镜受太阳照射发热、焦距发生了变化，这组数据不予采用。爱丁顿报告普林西比的结果：5 颗好星，1.61±0.30 角秒。两个数都远离牛顿式的 0.87 角秒，接近爱因斯坦的 1.75 角秒7。

主持会议的皇家学会会长 J. J. 汤姆孙说，这是“牛顿时代以来，与引力理论有关的最重要的成果”7。第二天，伦敦《泰晤士报》报道了结果，随后又发表了题为“科学革命”的文章；11 月 10 日，《纽约时报》也报道了这条消息7。爱因斯坦很快成了全世界都知道的名字。

在柏林，爱因斯坦早在 9 月 22 日就收到了洛伦兹的电报：爱丁顿测到太阳边缘处的星光偏移，初步数值在 0.9 角秒到其两倍之间7。据他当时的学生伊尔泽·施奈德后来回忆，她问爱因斯坦，如果观测结果不支持他怎么办，爱因斯坦回答，那他只好替亲爱的上帝感到遗憾，理论是对的7。这同样是事后的回忆。

争议：数据是不是被挑过

1980 年，科学哲学家厄尔曼和格雷莫尔发表长文，指出 1919 年的数据其实很弱：被弃用的索布拉尔天体照相仪，原始归算结果约 0.93 角秒，更接近牛顿值；普林西比的底片受云层影响，误差很大。后来社会学家科林斯和平奇在畅销书《人人皆知的魔像》（The Golem）里转述了这一观点，“爱丁顿为了支持爱因斯坦而挑数据”的说法流传开来19。

科学史家肯尼菲克重新梳理了档案，结论不同19：

  • 决定弃用天体照相仪数据的是格林尼治的团队，主事的戴森本人对理论持怀疑态度，曾觉得它“好得不像真的”。
  • 弃用的理由是焦距变化。现场观测者就注意到，天体照相仪在日食过程中失焦了，可能是全食时气温骤变所致。格林尼治团队后来在准备 1922 年日食时，专门改进了测定底片比例尺的方法。
  • 1979 年，格林尼治天文台的哈维用现代测量机重新测量了索布拉尔的底片。4 英寸望远镜的结果是 1.90±0.11 角秒，天体照相仪的结果从 0.93 变成了 1.55±0.34 角秒，两者合并为 1.87±0.13 角秒。
日食测得的偏折（换算到太阳边缘）。横线是误差范围。两条竖线是两种预言。注意第三行：1919 年未被采用的那组数据，1979 年重新测量后向右移到了爱因斯坦一侧。数据：1919 年报告与 1979 年复测7,19；1922 年瓦拉尔7。

这场争论留下的教训是双向的。1919 年的数据确实不如当时宣传的那样确凿：日食观测的误差普遍很大，测出来的数还常常偏高，此后半个多世纪的日食测量都只是时好时坏19。1922 年，美国利克天文台的坎贝尔带着 35 吨设备到澳大利亚西部的瓦拉尔海滩观测日食，得到 1.72±0.15 角秒，被认为是日食测量中最好的结果之一7。真正的定论要等到射电天文学：天文学家用相隔几千公里的射电望远镜同时观测掠过太阳附近的类星体，不需要日食。2004 年对近 200 万次这类观测的分析表明，偏折与广义相对论的预言相差不到万分之三10。

1959 — 1976在一座塔楼里称光的重量

1919 年之后，广义相对论名气很大，可是能拿来检验它的实验极少。物理学家威尔把 1920—1960 年称为这个领域的“冬眠期”：理论走在技术前面，实验做不出来，研究停滞，被看作物理学和天文学的偏僻角落10。普林斯顿的惠勒 1952 年转向广义相对论时，觉得它“更像数学的一个分支，而不是物理”18。转折发生在 1960 年前后，新的测量技术接连出现。

1959—1960庞德与雷布卡：22.5 米的高度差

引力红移是爱因斯坦 1907 年最早做出的预言之一1。要在地面上验证它，高度差只有几十米，按上一节的公式，频率差只有 10−15 量级。没有哪种光源的频率稳到这个程度。

庞德和雷布卡的机会来自一项刚出现一年左右的新发现20。德国物理学家穆斯堡尔发现，把某些原子核固定在晶体里，它们放出和吸收的伽马射线谱线可以窄到极致，因为反冲由整块晶体承担了。哈佛大学的庞德和他的研究生雷布卡立刻用上了它20。他们用铁-57 原子核发出的 14.4 千电子伏伽马射线，这条谱线的相对宽度只有约 10−1220。

实验地点是哈佛杰斐逊物理实验室的塔楼，从地下室到顶层高约 22.5 米10,11。伽马射线从一端射向另一端，另一端放着同样的铁-57 吸收体。如果光“爬升”时频率变了，吸收体就对不上频率，吸收会减少。为了测出差了多少，他们把放射源装在一个扬声器上，以每秒 10 到 50 次的频率前后振动，用多普勒效应给伽马射线一点可控的频率偏移，看偏移多少时能把引力造成的差别抵消掉20。

预言值可以用上一节的公式直接算：gh/c² = 9.8 × 22.5 ÷ (3×10⁸)² ≈ 2.5×10⁻¹⁵。一台钟如果按这个比例比另一台快，一亿年才多走 8 秒左右。他们把源和吸收体上下对调，让光分别向上和向下走，测得两个方向的总差别为 (5.13±0.51)×10−15，与预言在 10% 以内一致11,20。论文 1960 年发表在《物理评论快报》上，题目是《光子的表观重量》11。几年后改进的实验把精度提高到 1%10,20。这个实验被普遍看作广义相对论精密检验时代的开端20。

1964夏皮罗的第四项检验

此前，广义相对论有三项“经典检验”：水星近日点、光线偏折、引力红移。1964 年，美国物理学家夏皮罗提出了第四项：雷达信号擦着太阳往返时，会比没有太阳时迟到一点10。原因还是时空弯曲，光经过太阳附近要多走一段“弯路”。对于往返于地球和另一颗行星之间、贴近太阳经过的信号，迟到的时间在两百多微秒的量级10。

此后二十年，研究者用金星、水星做雷达反射靶，又用水手号、海盗号等探测器做应答器，反复测量。1976 年海盗号火星着陆器把精度提高到 0.1%；2003 年，飞往土星的卡西尼号把偏离广义相对论的可能范围压到了十万分之二左右10。

1976把钟送上一万公里

1976 年 6 月，韦索特和莱文等人把一台氢原子钟（氢脉泽）装上火箭，送到约 1 万公里的高度，一路与地面的同型钟比对，这个实验叫“引力探测器 A”。它验证引力红移的精度达到万分之二10。第 27 章讲过，1971 年有人带着原子钟坐民航飞机环球飞行，那次测到的是狭义和广义两种效应的叠加。到这时，“高处的钟走得快”已经不再是理论推测，而是可以工程化处理的数字。下一节的 GPS，就建立在这个数字上。

影响它怎么改变了世界

广义相对论诞生时，几乎所有人都认为它和日常生活毫无关系：效应小到要等日全食、要用百万分之一的精度才看得见。如今，每一部能用卫星定位的手机都离不开它。

一 · 手机定位：两个相对论效应怎么算

序章的手机清单第一条说：卫星上的钟每天要快约 38 微秒，不修正的话定位每天偏出约 10 公里。现在可以把这笔账算清楚。

GPS 卫星在约 20,200 公里高的轨道上，每天绕地球两圈；基本星座有 24 个轨位，分布在 6 个轨道面上，保证地球上几乎任何地方都能同时看到至少 4 颗21。接收机测出每颗卫星的信号走了多久，乘以光速得到距离，再用几个距离交会出位置。计时差 1 纳秒，距离就差约 30 厘米12。所以卫星上的原子钟必须准到纳秒级。

  1. 狭义相对论让卫星钟变慢。卫星的速度约 3.9 公里/秒22，运动的钟走得慢，相对频率差约 −0.83×10−10，一天累积约 −7 微秒12,22。
  2. 广义相对论让卫星钟变快。卫星在高处，引力势比地面高，钟走得快，相对频率差约 +5.28×10−10，一天累积约 +45 微秒12,22。
  3. 两者相加。净效应 +4.465×10−10，乘以一天的 86,400 秒，约 +38.6 微秒12。这就是序章里的 38 微秒。
  4. 换成距离。38 微秒 × 30 万公里/秒 ≈ 11 公里。序章说的“每天偏出约 10 公里”就是这样估算出来的22。实际系统里误差怎样表现，取决于接收机和地面站如何解算，所以这是一个量级估计；但无论怎么处理，不修正这个系统就没法用。
  5. 怎么修正。卫星钟在出厂时就被调慢：标称 10.23 兆赫的频率，实际设成约 10.22999999543 兆赫，上天后正好走得和地面一致12。轨道不是完美的圆，还会带来最多几十纳秒的周期性偏差，这部分由你手机里的接收机按公式实时修正12。

这个修正一开始并非人人都信。1977 年 6 月 23 日，GPS 的试验卫星 NTS-2 发射。工程师在星上装了一个频率合成器，先不打开，让铯原子钟按原样走了约 20 天。实测它比地面钟快了 442.5×10−12，广义相对论的预言是 446.5×10−12，相差不到 1%。阿什比记述，当时确实有人怀疑相对论效应是否真需要计入12。

其他卫星导航系统面对的是同一笔账。俄罗斯的格洛纳斯在播发前就做了修正，欧洲的伽利略系统同样需要处理12。中国北斗系统的官方接口控制文件里，卫星钟差公式中专门有一项“相对论校正项”；北斗的中圆轨道卫星高 21,528 公里，另有高 35,786 公里的地球静止轨道和倾斜地球同步轨道卫星23。

GPS IIF 型卫星在地球上空的艺术示意图，金色箔包裹的星体两侧伸出蓝色太阳能帆板
GPS IIF 型卫星示意图。两侧是太阳能帆板，金色箔包着的星体里装着原子钟，它们的频率在出厂前就为相对论效应调好了12。NASA，公有领域 · Wikimedia Commons

下面的演示用同一套公式计算不同高度的卫星钟。试试几个预设轨道，再找找两种效应正好抵消的高度。

卫星上的钟演示 2 · 选轨道高度，再快进一天

把高度拖到 3,000 公里附近，两条虚线的效应恰好相互抵消。再往下，速度效应占上风；国际空间站这样的低轨道，钟反而是变慢的。往上，引力势的效应越来越大。这些数都只用了本章的弱场公式，没有考虑地球的扁度、轨道的偏心等细节，真实系统还要加上这些修正12。

二 · 引力透镜：用弯曲的光给暗物质称重

如果一颗恒星或一个星系正好挡在更远的光源前面，它的引力会像一块透镜一样，把后面的光弯过来，形成多个像、一段弧，甚至一个完整的光环。爱因斯坦 1912 年 4 月就在笔记里推导过这种透镜的基本公式，却一直没有发表。1936 年，捷克工程师曼德尔反复写信劝他，他才在《科学》杂志发了一篇短文，并认为恒星之间的透镜效应几乎没有机会被直接看到8,9。第二年，天文学家兹威基指出：拿整个星系当透镜，机会要大得多8。

第一个引力透镜在 1979 年找到：一对相隔很近、光谱完全一样的“双类星体”，其实是同一个类星体被前景星系弯成的两个像8。1985 年发现了四个像排成十字的“爱因斯坦十字”，1988 年发现了第一个完整的“爱因斯坦环”8。

透镜的弯曲程度只取决于前景天体的总质量，不管这些质量发不发光。这让它成了测量暗物质最直接的工具。2006 年 8 月，NASA 公布了“子弹星系团”的合成图：两团星系相撞后，发 X 射线的热气体被拖在中间，而用引力透镜画出的质量分布却跑到了两侧，说明星系团里的大部分质量是看不见的暗物质24。欧洲空间局的欧几里得望远镜 2023 年 7 月发射，要观测超过三分之一的天空，靠的正是这种光线的微小变形25。暗物质的发现史，第 29 章会讲。

韦布空间望远镜第一深场：大量星系，中央星系团周围有许多被拉长弯曲的橙色弧线
韦布空间望远镜的“第一深场”，2022 年 7 月公布，前景是星系团 SMACS 0723，我们看到的是它 46 亿年前的样子26。看画面中央那团白色星系的周围：许多细长、弯曲的橙色弧线，都是更远的星系，它们的光被星系团的质量弯曲、拉长并放大了26。NASA, ESA, CSA, STScI，公有领域 · Wikimedia Commons
三 · 用钟测量高度：相对论测地学

gh/c² 这个公式也可以反过来用：两台钟快慢不同，就能算出它们的高度差。2010 年，美国国家标准与技术研究院（NIST）用两台铝离子光钟，测出了 33 厘米高度差带来的快慢差别；按这个差别，一个人在高出 33 厘米处度过 79 年，只比低处多过约 90 纳秒27。研究者设想，把光钟连成网络，可以以厘米级精度测量地表到大地水准面的高度，并比现有方法更新得更频繁27。2022 年，科罗拉多大学和 NIST 合办的 JILA 实验室在一团约 10 万个超冷锶原子里，测出了上下只差 1 毫米的两部分之间的频率差，相对大小约 10−1928。爱因斯坦在专利局里想到的那个效应，如今精确到可以给地球画地形图。

四 · 一位科学家成为公众人物

1919 年 11 月之后，报纸把广义相对论说成推翻牛顿的“科学革命”。伦敦、纽约、里约热内卢、里斯本的报纸在不到十天里相继报道。12 月 14 日，柏林的一份画报称爱因斯坦是“世界历史上的新名人”，把他的研究和哥白尼、开普勒、牛顿相提并论7。一个需要黎曼几何才能写出来的理论，就这样上了全世界的报纸。对爱丁顿来说，这次观测还有另一层意义：大战刚结束，由英国人去验证一位德国物理学家的理论，是他期望的两国科学界和解的一步19。

误解诺贝尔奖、日食和弹簧床

误解一 · 爱因斯坦因为相对论获得了诺贝尔奖

爱因斯坦获得的是 1921 年诺贝尔物理学奖，1922 年才颁发。获奖理由是“表彰他对理论物理的贡献，特别是发现了光电效应定律”，里面没有提相对论2。光电效应属于量子的故事，第 33 章会讲。

误解二 · 1919 年的日食一锤定音，或者反过来，爱丁顿伪造了结果

两种说法都太简单。1919 年的数据误差很大，单靠它不足以定论，当时的宣传确实超过了数据的分量；但弃用一组数据有书面的技术理由，主事者戴森本人还是怀疑者，1979 年的复测也支持原来的结论19。广义相对论的光线偏折，是靠后来几十年越来越精确的射电测量才最终确认的10,19。

误解三 · 弹簧床上放一个保龄球，就是广义相对论

这个比喻常见于科普：保龄球把床面压出一个坑，旁边的小球滚进坑里，好像被吸引了。它有两个毛病。第一，小球滚进坑里，靠的是地球的重力把它往下拉，等于用引力来解释引力。第二，它只画出了空间的弯曲。本章讲过，在地球这样的弱引力里，让苹果下落的主要是时间的弯曲：不同高度的钟走得快慢不同。弹簧床能帮人想象“几何影响运动”，但不要把它当成理论本身。

承上启下两条线在时空里会合

第 27 章讲到，狭义相对论把时间和空间合成了一个四维的“时空”，但那个时空是平直的，引力被留在了外面。这一章，爱因斯坦让时空弯曲，引力从一种力变成了几何。

这里会合的是两条很长的线。一条是第一单元的引力线：从第 4 章牛顿的平方反比定律，到第 5 章勒威耶用它找到海王星；同一位勒威耶在水星上发现的 43 角秒，最后由广义相对论解释。另一条是光的线：光速在第 24 章变成电磁波的速度，在第 27 章变成宇宙的速度上限，到这里，光的路径本身成了测量时空弯曲的探针。

场方程描述的是时空怎样弯曲，很自然的下一个问题是：整个宇宙的时空是什么形状？它是静止的，还是在变化？下一章，天文学家拿着越来越大的望远镜，去量远方星云的距离和速度，发现宇宙在膨胀。再往后的第 30 章，同一组方程会推出更极端的东西：连光都逃不出的黑洞，以及时空本身的涟漪，引力波。

自测五个问题

1. 等效原理说的是什么？爱因斯坦从封闭电梯的思想实验里推出了哪两个预言？
在一个小范围里，引力的效果和加速运动的效果无法区分。由此推出：光经过引力场会弯曲（在加速电梯里，水平射出的光看起来向下弯）；引力场中低处的钟比高处的钟走得慢，从低处射向高处的光会发生红移。
2. 水星近日点的“43 角秒”是怎么来的？19 世纪的天文学家怎样解释它？
水星近日点每世纪转约 574 角秒，其中约 531 角秒可以用其他行星的引力解释，剩下约 43 角秒解释不了。勒威耶 1859 年最先发现这个差额，他猜测水星内侧还有一颗行星（祝融星）；也有人提出小行星环、太阳扁率、修改平方反比定律，都没有成功。1915 年 11 月，广义相对论不加任何新假设就算出了 43 角秒。
3. 为什么说测量光线偏折能区分牛顿和爱因斯坦？在演示 1 里，把掠过距离从 2 个太阳半径调到 4 个，偏折会怎样变化？
把光当作粒子用牛顿引力计算，或只考虑时间弯曲，得到的偏折是 0.87 角秒；广义相对论把空间弯曲也算进去，得到 1.75 角秒，正好两倍。偏折和掠过距离成反比，从 2 个太阳半径调到 4 个，广义相对论的预言从约 0.88 角秒降到约 0.44 角秒。
4. 庞德—雷布卡实验为什么要等到 1959 年前后才能做？它用了什么巧妙的办法测出 10⁻¹⁵ 量级的频率差？
22.5 米高度差带来的频率差只有约 2.5×10⁻¹⁵，此前没有频率如此稳定的光源。前一年刚发现的穆斯堡尔效应让铁-57 的伽马射线谱线窄到约 10⁻¹²。他们把放射源装在扬声器上振动，用多普勒效应制造可控的频率偏移，找出能抵消引力红移的那一点；再把源和吸收体上下对调，比较两个方向。
5. GPS 卫星钟每天快约 38 微秒，是哪两个效应合起来的？工程师怎样处理？
狭义相对论：卫星运动快，钟每天慢约 7 微秒。广义相对论：卫星在高处，引力势高，钟每天快约 45 微秒。两者相加约快 38 微秒，乘以光速相当于约 11 公里的距离。处理办法是出厂前把卫星钟的频率从 10.23 兆赫调到约 10.22999999543 兆赫，轨道偏心带来的周期性小偏差则由接收机按公式修正。

参考来源本章依据

  1. J. D. Norton（University of Pittsburgh），“Einstein's Pathway to General Relativity”，HPS 0410 课程讲义。sites.pitt.edu
  2. NobelPrize.org，Albert Einstein – Facts（1921 年物理学奖）。nobelprize.org
  3. E. L. Schucking，“Einstein's Apple and Relativity's Gravitational Field”，arXiv:0903.3768（2009），引 A. Pais, Subtle is the Lord (Oxford University Press, 1982) p. 179。arxiv.org
  4. W.-T. Ni，“Empirical Foundations of the Relativistic Gravity”，Int. J. Mod. Phys. D 14 (2005) 901。arxiv.org
  5. The Collected Papers of Albert Einstein, Vol. 3（Princeton University Press），“On the Influence of Gravitation on the Propagation of Light” (1911) 英译及编者注。einsteinpapers.press.princeton.edu
  6. N. Straumann（Universität Zürich），“Einstein's ‘Zürich Notebook’ and his Journey to General Relativity”，Annalen der Physik 523 (2011)。arxiv.org
  7. J. P. S. Lemos（Universidade de Lisboa），“Shadow of the Moon and general relativity: Einstein, Dyson, Eddington and the 1919 light deflection”，Revista Brasileira de Ensino de Física 41 (2019) e20190260。arxiv.org
  8. Max Planck Institute for Gravitational Physics（Albert-Einstein-Institut），Einstein Online，“A brief history of gravitational lensing”。einstein-online.info
  9. J. Renn, T. Sauer, J. Stachel，“The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science Paper”，Science 275 (1997) 184–186。doi:10.1126/science.275.5297.184
  10. C. M. Will，“The Confrontation between General Relativity and Experiment”，Living Reviews in Relativity 17 (2014) 4。doi:10.12942/lrr-2014-4
  11. R. V. Pound, G. A. Rebka Jr.，“Apparent Weight of Photons”，Physical Review Letters 4 (1960) 337。doi:10.1103/PhysRevLett.4.337
  12. N. Ashby（University of Colorado），“Relativity in the Global Positioning System”，Living Reviews in Relativity 6 (2003) 1。pmc.ncbi.nlm.nih.gov
  13. E. F. Taylor, J. A. Wheeler, E. Bertschinger，Exploring Black Holes（第二版）第 10 章“Advance of Mercury's Perihelion”（引 A. Pais）。eftaylor.com
  14. ONERA，“Final results of MICROSCOPE mission achieve record levels of precision”，2022；P. Touboul 等，Physical Review Letters 129 (2022) 121102。onera.fr
  15. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Marcel Grossmann 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
  16. L. Corry, J. Renn, J. Stachel，“Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute”，Science 278 (1997) 1270–1273。doi:10.1126/science.278.5341.1270
  17. D. Kennefick（University of Arkansas），“Was Einstein the first to discover general relativity?”，Princeton University Press。press.princeton.edu
  18. C. W. Misner, K. S. Thorne, W. H. Zurek，“John Wheeler, relativity, and quantum information”，Physics Today 62(4) (2009) 40。physicstoday.aip.org
  19. D. Kennefick，“Not Only Because of Theory: Dyson, Eddington and the Competing Myths of the 1919 Eclipse Expedition”（2007）；另见 Physics Today 62(3) (2009) 37。arxiv.org
  20. Physics Today，Glen Rebka 讣告（AIP）。physicstoday.aip.org
  21. GPS.gov（美国政府），Space Segment。gps.gov
  22. R. Pogge（The Ohio State University），“Real-World Relativity: The GPS Navigation System”。astronomy.ohio-state.edu
  23. 中国卫星导航系统管理办公室，《北斗卫星导航系统空间信号接口控制文件：公开服务信号（2.0 版）》，2013。beidou.gov.cn
  24. NASA / Chandra X-ray Center，“1E 0657-56: NASA Finds Direct Proof of Dark Matter”，2006。chandra.harvard.edu
  25. ESA，Euclid 任务页面。esa.int
  26. NASA，“NASA's Webb Delivers Deepest Infrared Image of Universe Yet”，2022。science.nasa.gov
  27. NIST，“NIST Pair of Aluminum Atomic Clocks Reveal Einstein's Relativity at a Personal Scale”，2010。nist.gov
  28. NIST/JILA，“JILA Atomic Clocks Measure Einstein's General Relativity at Millimeter Scale”，2022。nist.gov

图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。

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