古代人怎样理解“看见”

时代速写亚历山大里亚，一块刻着度数的铜盘

公元 2 世纪中叶的亚历山大里亚，托勒密立起一块边缘刻着度数的铜盘，在盘心贴上一块透明玻璃做的半圆柱。他从斜上方沿着某个角度看向盘心，再读出那条线进入玻璃之后偏到了第几度¹。

他一共读了八次：斜 10 度进去，在玻璃里只剩 7 度；斜 20 度进去，剩 13 度半；一直读到 80 度¹。这些数字和今天按普通玻璃算出的数值相差都不到一度。奇怪的是，托勒密以为自己量的是从眼睛射出去的“视线”在玻璃里拐了多大的弯²。他把方向想反了，数字却量对了。

这一章要讲的，就是这件怪事背后的一千六百年。人怎么看见东西？是眼睛像手一样伸出去“摸”到物体，还是物体把什么东西送进了眼睛？镜子里的那个人究竟站在哪里？一根筷子插进水里为什么会折断？中国的墨家、希腊的数学家、巴格达和开罗的学者、英格兰和波兰的修士，先后给出了各自的回答。到 13 世纪末，这些回答汇成了一门叫“透视学”（perspectiva）的学科，再过一百多年，它会走进佛罗伦萨画家的作坊。

• 约前 300欧几里得写《光学》，把视觉画成一个从眼睛出发的锥体^3,2。
• 战国晚期《墨经·经下》用八条讨论影子和镜像，包括平面镜、凹面镜、凸面镜^4,5。
• 约 60亚历山大里亚的希罗指出：光被镜子反射时走的是最短的路³。
• 约 165托勒密写《光学》，留下现存最早的折射测量表^2,1。
• 984 前后巴格达的伊本·萨赫勒写《论燃烧器具》，给出了相当于今天折射定律的关系⁶。
• 11 世纪初伊本·海什木在开罗写成七卷《光学书》，系统反驳“眼睛发光”的说法^7,8。
• 约 1200《光学书》被译成拉丁文，书名《论视觉》（De aspectibus）⁹。
• 约 1228英格兰的格罗斯泰斯特写《论彩虹》，提出一条错误的折射规则¹⁰。
• 1267罗吉尔·培根把《透视学》作为《大著作》的第五部分送交教皇¹¹。
• 1270 年代维特罗和佩卡姆各写一部透视学教科书，此后在欧洲大学里用了三百年^9,12。

问题眼睛伸出去，还是东西走进来

“看见”这件事太平常了，平常到很少有人追问它是怎么发生的。可只要一追问，就会碰到难题。眼睛和远处的山之间隔着空气，什么也没有碰到，山怎么就“到了”我的眼里？

前 5—前 4 世纪两种回答

希腊人很早就分成了两派。一派认为是眼睛往外送东西。前 5 世纪的恩培多克勒把眼睛比作一盏灯笼：里面点着火，隔着一层薄膜向外照¹³。这个比喻有一个明显的麻烦，眼睛里如果有火，人在夜里也该看得见。所以恩培多克勒又补充说，眼中射出的东西要和太阳这样的外部光源相互作用才行³。他同时也承认，物体会放出细微的“流射”，进入眼睛的孔道¹³。柏拉图在《蒂迈欧篇》里说得更具体：我们体内有一种和白昼之火同类的纯火，平滑而密集地从眼睛里流出去，和日光结合成一个整体¹⁴。

另一派认为是东西往眼睛里送。德谟克利特这些原子论者说，物体表面不断剥落一层层由原子组成的薄膜，像蛇蜕皮一样飞散出去，其中缩得足够小的那些钻进眼睛，人就看见了¹⁵。这个说法也有麻烦：一座山的“薄膜”要缩到瞳孔那么大才能钻进去，一路上怎么保持形状不乱？

亚里士多德两边都不赞成。他认为眼睛和物体之间必须有一种透明的东西，比如空气或水；光是让这种透明的东西真正“透明起来”的状态；物体的颜色推动这层透明的介质，介质再作用到眼睛上¹⁶。照这个说法，眼睛既不往外发射，也不接收什么飞来的薄膜。

后来的史家把这些主张归成两类：东西进入眼睛的叫接收说（亚里士多德和原子论者），眼睛向外发出东西的叫发射说或视线说（毕达哥拉斯派、欧几里得、托勒密）²。

数学家为什么喜欢视线说

今天看，视线说显然错了。可是在一千多年里，最会算的人几乎都站在这一边。原因很实际。如果从眼睛这一点出发画直线，那么“看见”就变成了一组从同一个顶点散开的直线，视觉问题就全变成了《几何原本》里已经讨论过的三角形问题²。原子论的“薄膜”和亚里士多德的“介质”都说明了看见的原因，却没法拿尺子和圆规去算。视线说可以算。

所以这一章里有两条线索交织在一起：一条是“看见的原因”，从眼睛发出还是进入眼睛；另一条是“看见的几何”，线怎么走，镜子里的像在哪里，水里的东西为什么移了位。第二条线索的答案大部分在古代就找对了，第一条要到 11 世纪才被扳过来。你会看到，扳过来之后，几何部分几乎一个字都不用改。

战国晚期《墨经》：影子不会走，镜子会骗人

序章讲过《墨经》里的小孔成像：“景到，在午有端”。同一部书的《经下》里，和这一条排在一起的还有七条，一共八条，后人习惯叫“墨经光学八条”。物理学家钱临照 1942 年前后写《释墨经中之光学力学诸条》，把它们逐条校释，前五条讲光和影，后三条讲成像。他数过，这八条连经带说一共只有三百四十三个字⁵。

德国马克斯·普朗克科学史研究所的施梅尔和美国华盛顿大学的汉学家鲍则岳在 2022 年出版的专著里提醒：这八条其实只讲了两件事，影子（第 17—21 条，按汉学家葛瑞汉的编号）和镜像（第 22—24 条）。它们没有讨论“人是怎么看见的”，所以算不上希腊意义上的视觉理论，更像“影子学”加上“镜子学”⁴。古文里一个“景”字，既可以读作 yǐng 指影子，也可以读作 jǐng 指光和镜中的像，墨家用同一个字写这两样东西⁴。

影子：“光至景亡”

第一条是“景不徙，说在改为”，影子不会移动。《经说》解释：“光至景亡。”光照到哪里，那里的影子就没了。你走路时影子跟着走，在墨家看来是旧的影子不断被光消灭，新的影子在旁边不断重新形成⁴。《庄子·天下》里有一句同样意思的怪话：“飞鸟之景未尝动也”，飞鸟的影子从来没动过⁴。这类说法听上去像诡辩，其实是把影子从“东西”里剔了出去。影子只是光没照到的地方，它自己不是一样能走动的物体。

第二条“景二，说在重”，《经说》是“二光夹一光，一光者景也”。施梅尔和鲍则岳的复原是：三支蜡烛排成一排，中间那支被两边的夹着；墙上会出现一深一浅的双重影子，最深的那块恰好只被一支蜡烛照到⁴。第四条“景迎日”说，阳光被墙之类的东西反射回来照到人身上，人的影子就落在人和太阳之间，朝着太阳⁴。这是一条关于反射的观察。

三种镜子

最后三条讲镜子，平面镜、凹面镜、凸面镜都写到了：

凹面镜这一条最有分量。拿一个汤勺的凹面照自己，脸离得近时是正的、放大的；拉远到一定距离，脸会突然翻过来变成倒的、缩小的。墨家说的“中”，从今天看大致相当于凹面镜的焦点。像的大小和正倒，正是以这个点为界翻转的。施梅尔和鲍则岳指出，墨家给出的几何构图本身不对，但定性的结论对⁴。钱临照的评语是，墨家讲凹面镜物与像的关系“甚详且甚确”，可惜没有讲到聚焦⁵。

一个容易被忽略的区别

墨家解释小孔倒像时说“光之入，煦若射”，光进来时像射出的箭⁴。这些箭是从光源和被照的物体那一侧射出来的。下面你会看到，希腊人画的线是从眼睛射出去的。施梅尔和鲍则岳认为，墨家的镜像几条和希腊的《反射光学》在几个关键结论上惊人地相似，比如平面镜的像在镜后一定深度，凹面镜的像会翻转，但两边是各自独立得出的。墨家也没有把这些结论组织成一套从公理推出命题的体系。只有小孔和凹面镜两条明确假定了光走直线，没有证据表明墨家把“光走直线”当成了普遍原则⁴。秦汉以后墨学衰落，晋代鲁胜作注之后中断了一千多年，直到清代学者重新校勘⁵。

前 300 — 165希腊：把“看见”画成三角形

约前 300欧几里得：视线锥

欧几里得生活在亚历山大里亚，大约前 300 年，他写了一部《光学》^3,17。这部书的开头像《几何原本》一样，先列出几条假设，再一条条证明命题。假设大意如下²：

1. 从眼睛发出的视线是直线，并且向外发散。
2. 一组视线围成一个锥体，锥顶在眼睛，锥底在被看的物体表面。
3. 视线落到的东西被看见，落不到的东西看不见。
4. 在较大的角度下看到的东西显得较大，较小的角度显得较小，相等的角度显得一样大。
5. 用较高的视线看到的东西显得较高，在右边的显得在右边。

第 4 条是整部书的发动机。同一根柱子，近处看占的角度大，远处看占的角度小，所以远处的柱子显得矮；一条笔直的长廊，两边的墙离得越远张开的角度越小，于是看上去向远处收拢。欧几里得用这几条假设证明了一连串这样的命题，MacTutor 称这部书是“第一部希腊人讨论透视的著作”¹⁷。他还假定视线锥可以拆成一根根分开的射线²。

《反射光学》：镜子里的像在哪里

另一部署名欧几里得的书叫《反射光学》（Catoptrica），专讲镜子。书的作者是不是欧几里得本人，学界争论了很久，现存的文本一般认为掺进了后人的材料⁴。书里给出了反射的规律³，还有一条找像的办法：从物体向镜面作一条垂线（希腊文叫 cathetus），再把眼睛看向镜面的那条视线延长到镜子后面，两条线的交点就是像所在的位置。对平面镜和凸面镜，这条“垂线法则”都管用²。

它对凹面镜就不灵了。按同一条法则，凹面镜的像可能出现在观察者脑后，可能在眼睛里，也可能根本没有像，欧几里得没能回答²。书里还有一条命题说，凹面球镜对着太阳，反射光会汇聚到球心并且点着火²。这一条说错了位置。球面镜把平行光大致聚到半径一半的地方，而且聚得并不完美。

比欧几里得晚一两代的狄奥克勒斯写了《论燃烧镜》，第一个证明了抛物面镜能把平行的阳光准确地聚到一点¹⁸。这本书的希腊文原本已经失传，20 世纪在伊朗马什哈德的一座圣陵图书馆里找到了阿拉伯文译本，1976 年译成英文出版¹⁸。

约 60希罗：光走最短的路

公元 1 世纪，亚历山大里亚的希罗也写了一部《反射光学》。他同样认为视觉来自眼睛发出的光线¹⁹。他给“入射角等于反射角”找了一个理由。光从一点经镜面反射到另一点，在所有可能的路径中，走的是最短的那一条³。下面的演示可以验证这件事，也可以看看垂线法则怎样找到镜中的像。

两个按钮画出来的是同一条折线，只是箭头方向相反。视线说能流行一千多年，这是原因之一。在几何上，“从眼睛射向蜡烛”和“从蜡烛射向眼睛”无法区分。再打开“自己挑反射点”，你会发现路径最短的那一点，正好是两个角相等的那一点。

约 165托勒密：第一张折射表

托勒密今天以天文学著作《至大论》出名。他晚年还写了一部五卷本的《光学》，讨论颜色、反射、折射和各种形状的镜子²⁰。科学史家图默评价说，这部书最醒目的特点是用实验来确立理论，而且经常为此专门造仪器²⁰。可惜希腊原本早已失传，今天能读到的只有一个质量不高的阿拉伯文译本，再经拉丁文转译下来的文本²⁰。

托勒密也是视线说的信徒。在他看来，视线直来直去时，物体就在它真正的位置被看见；视线碰到镜面被折回，或者穿进水和玻璃时被折弯，眼睛看到的就是一个挪了位置的像。反射和折射是视觉的两种“异常”²。为了弄清折射这种异常有多大，他做了三组实验：空气进水，空气进玻璃，水进玻璃¹。开头那块铜盘就是空气进玻璃的那一组，佛罗伦萨的伽利略博物馆复原过这套装置¹。他的读数如下：

先看前两列。入射角越大，折射角也越大，但长得越来越慢，这是对的。再看第三列，相邻两个折射角的差是 7、6½、6、5½……每一步恰好少半度，排得整整齐齐¹。真实的测量读数很难这么规整，这让人怀疑表里的数不全是原始读数，而是按某种算术规律“修匀”过。科学史家史密斯（A. Mark Smith）1982 年专门写过一篇论文，讨论托勒密寻找折射规律时用的这种“拯救现象”的方法及其局限²¹。表里有多少是原始读数、多少是修匀的结果，史家的看法并不一致。

托勒密离正确答案其实不远。他给出的是一列数字，没有一条能算出任意角度的公式。下面这个演示把他的表和今天的折射定律画在一起，你可以自己调玻璃的折射率，看哪种玻璃和他的数据最吻合。

把折射率调到 1.5 左右，托勒密的八个点几乎都落在曲线上，平均只差半度上下。考虑到他用的是肉眼对准刻度，这已经是相当好的测量。真正的规律要再等八百年，由巴格达的一位数学家写出来。托勒密还从恒星位置的测量中意识到，大气本身也会让星光折射³。

9 — 11 世纪巴格达与开罗：线的另一头

阿拉伯语世界的学者读过欧几里得和托勒密的光学²²，托勒密的《光学》就是靠阿拉伯文译本才流传下来的²⁰。9 到 11 世纪，阿拉伯语世界的学者把这门学问推到了希腊人没有到达的地方。

9 世纪肯迪：仍然从眼睛出发

巴格达的哲学家肯迪（al-Kindī，约 800—870 年代初）写过一部《论视觉》，阿拉伯文原本失传，只有拉丁文译本留下来。他继承欧几里得和托勒密的传统，用几何作图解释透视、影子、折射、反射和燃烧镜，也认为视觉是眼睛沿直线发出的“射线”打到物体上；发光体则发出光线照亮物体²²。肯迪对希腊权威很尊重，但比同时代人更愿意指出他们的缺陷，欧几里得的光学就是他批评过的例子²²。

984 前后伊本·萨赫勒：一个比值

20 世纪后期，法国国家科学研究中心的科学史家拉希德（Roshdi Rashed）在大马士革和德黑兰的两份手稿里，拼出了一部几乎被遗忘的书《论燃烧器具》。作者伊本·萨赫勒（Ibn Sahl）是巴格达宫廷里的一位数学家，书写于 983—985 年间⁶。海什木知道这部书，还亲手抄过其中的一部分⁶。

书名里的“燃烧器具”指能把阳光聚起来点火的镜子和透镜。伊本·萨赫勒先研究抛物面镜和椭球面镜，再转向透镜，问怎样磨一块透镜，才能让平行射来的阳光穿过之后聚到一点⁶。要回答这个问题，就必须知道光穿过玻璃时到底拐多大的弯。

他的办法是从折射点出发取两条线段：一条沿着空气里的光线，一条沿着水晶里那条光线的延长线，两条都截到同一条垂直于界面的直线为止。他指出，对同一块水晶，这两条线段的比值是一个固定的数，不随入射角改变。拉希德证明，这个比值正好等于两个角的正弦之比，也就是今天折射率的倒数 1/n⁶。换句话说，伊本·萨赫勒在斯涅尔（1621 年）之前六百多年，就写下了与斯涅尔定律等价的关系^6,3。他用这个比值算出了透镜表面该有的形状，一种双曲面；还设计了一套能连续画出双曲线的工具⁶。拉希德说，他是已知第一个研究透镜的数学家⁶。

这本书没有流传开来。研究彩虹的格罗斯泰斯特两百多年后在英格兰思考折射时，对伊本·萨赫勒的结果一无所知¹⁰。

11 世纪初伊本·海什木：为什么看太阳会痛

伊本·海什木约 965 年生于巴士拉，后来到了开罗，约 1040 年死在那里⁷。他和法蒂玛王朝哈里发哈基姆的故事有好几个版本。一种说法是，他提出治理尼罗河，走到上游发现做不到，于是装疯，被关在家里直到 1021 年哈基姆去世；另一个版本说他逃去了叙利亚；还有版本说他在巴士拉时就装过疯⁷。这些故事都来自后人的记载，细节难以核实。

序章讲过他用暗室和几盏灯做的实验，这里看他怎样驳倒“眼睛发光”。他的论证朴素得像常识⁸：

1. 看太阳或别的强光，眼睛会疼，甚至受伤。身体不会自己伤害自己，一定是有东西从外面进到了眼里。
2. 盯着亮光看一会儿再移开视线，眼前还留着一个亮斑，也就是余像。这说明眼睛受到了外来的作用，它是接收的一方。
3. 人在黑夜里看不见。如果眼睛自己能放出光，什么时候都应该看得见。

反驳只是第一步。原子论者和亚里士多德也主张东西进入眼睛，但他们讲不出“怎样进入”的几何。海什木的新东西在第二步。他认为发光物体上的每一个点，都沿着所有的直线向四面八方发光²³。物体的每一点都同时向眼睛送来无数条光线，眼睛怎么才不会被弄糊涂？他的回答是，起作用的主要是那些垂直进入眼睛表面的光线²³，它们沿着物体和眼睛中心点之间的直线进来⁸。这样，欧几里得的视线锥被原封不动地保留下来，只是锥里的每一条线都掉了个头，从物体指向眼睛。数学家的几何和自然哲学家的“接收”，在这里第一次接上了。

《光学书》共七卷。第一卷宣布研究要以实验证据为准，后面几卷讲视知觉、视觉的错误、反射和折射⁷。第四卷描述了一台他自己设计的铜制仪器，用来测量平面镜、球面镜、柱面镜和锥面镜的反射，凸的凹的都有⁷。第五卷里有一个后来以他命名的难题：给定光源、眼睛和一面球面镜，求镜上的反射点⁷。第七卷讲折射，但他没有像伊本·萨赫勒那样给出一条定量的规律⁷。他还认为光在折射时会走一条“更容易、更快”的路²³，这个想法要到 17 世纪的费马手里才变成精确的“最短时间原理”³，第 15 章会讲到。

1228 — 1270 年代拉丁世界：修士们的“透视学”

大约 1200 年，海什木的《光学书》被一位不知名的译者译成拉丁文，题为《论视觉》（De aspectibus）⁹。到 13 世纪中叶，希腊和阿拉伯的光学著作已经大多可以在欧洲的学术中心读到⁹。接手这份遗产的，主要是几位教会里的学者。

约 1228格罗斯泰斯特：一条错得很漂亮的规则

罗伯特·格罗斯泰斯特（Robert Grosseteste，约 1168—1253）后来当上了林肯主教。他在《论光》里把光看作造物的第一形式，认为光自我扩散，把原初的物质撑成了三维的宇宙；他也一再强调，要理解自然，必须懂线、角和图形²⁴。

大约 1228 年，他写了一篇短文《论彩虹》，第一次把折射引进了对彩虹的解释¹⁰。文中他仍然相信，看见需要眼睛和物体两边的射线会合¹⁰。他还给出了一条折射规则，折射角等于入射角的一半。理由一半是“自然总是取最简单的方式”，一半是实验¹⁰。你可以在演示 2 里打开这条规则看看。入射角小的时候它不算太离谱，角度一大就差得很远。科学史家林德伯格对他的彩虹理论评价很低，说它“连最基本的现象都解释不了”；2017 年牛津大学和杜伦大学的一个团队用透明圆锥做实验，发现圆锥确实能投出弓形的亮带，认为格罗斯泰斯特的想法可能来自真实的观察¹⁰。

1267罗吉尔·培根：送给教皇的一块透镜

方济各会修士罗吉尔·培根在序章出现过，他在书里提倡“实验科学”。1266 年 6 月 22 日，教皇克雷芒四世命他把学问写出来。他很快写成了《大著作》，其中第五部分就是《透视学》；约 1267—1268 年，他把这些著作，连同一篇《论燃烧镜》和一块光学透镜，一起送到了教廷¹¹。

培根读过海什木、托勒密、肯迪和欧几里得。他采纳了海什木的接收说，认为是物体发出的“形象”（species）进入眼睛改变了晶状体；同时又保留了一点发射说，强调眼睛不是完全被动的¹¹。他说的 species，是任何物体作用于周围事物的力量，光只是其中一种¹¹。他还认为透镜可以放大，能帮助视力不好的人^25,3；他给出彩虹最高只能升到地平线以上 42 度，比前人都准，MacTutor 认为这个数字一定是他通过实验得到的²⁵。经过他的提倡，“透视学”成了大学里四门数学学科之外新加的一门¹¹。

1270 年代维特罗和佩卡姆：写成教科书

维特罗（Witelo）1230 年代初生在西里西亚，在巴黎、帕多瓦求学，后来在意大利维泰博的教廷结识了翻译家穆尔贝克的威廉¹²。他的《透视学》十卷，大概写于 1270 年代前半，献给威廉^9,12。这部书印出来将近五百页，从几何讲到光的辐射、视觉、反射和折射，主要依据海什木，可全书从不提海什木的名字¹²。

英格兰方济各会修士约翰·佩卡姆（John Pecham）的《普通透视学》大约写于 1270 年代后期，不久他被任命为坎特伯雷大主教⁹。这本书比维特罗的薄得多，写给最广泛的读者。研究中世纪光学的史家史密斯开玩笑说，要是今天出版，它的书名大概会改成《光学傻瓜书》⁹。它的手稿数量最多，1482 年前后最早被印成书，印的次数也最多；维特罗的书 1535 年印行，培根的《透视学》要到 1614 年才印出来⁹。1572 年，巴塞尔的里斯纳把海什木和维特罗的著作合印成一册，就是序章出现过的《光学宝库》⁹。开普勒 1604 年的光学著作，书名就叫《对维特罗的补遗》^3,12。

到这里，从眼睛出发的视线和从物体出发的光线，在拉丁欧洲的教科书里还在并存，但三位修士的书都以海什木为主要依据^9,12。几何部分基本定型了。光走直线，反射角等于入射角，像在垂线上，折射时光朝法线偏。缺的是一条正确的折射定律，和对眼睛里那块透镜的正确理解。

概念光线、像和视角

把这一千六百年的成果收拢一下，留到今天的是三条规则。它们都只关心线怎么走，不关心线朝哪个方向走。今天的光学课把这件事叫作光路的可逆性，意思是把光线的方向倒过来，几何关系完全不变²⁶。这正是欧几里得的几何在“视线”被推翻以后还能整个保留下来的原因。

反射：等角，镜后同样深

折射：一个固定的比值

视角：远处的东西为什么小

影响它怎么改变了世界

中世纪的透视学没有造出机器，它的影响先落在了人的眼睛和手上：画家怎么画，学生怎么学，数学家怎么想。最后，它变成了今天电脑屏幕上的每一帧画面。

误解烧船的镜子、谁先想到、谁更早

承上启下从“怎样看见”到“怎样看得更清楚”

第二单元结束在接近绝对零度的实验室里。第三单元从头回到古代，追一条新的线索，光。这一章讲的是人怎样理解“看见”。到 1270 年代，三位修士的教科书已经把光走直线、等角反射、垂线找像、折射向法线偏这些几何规则写进了大学课程。还没解决的有两件事：折射的准确规律，和眼睛里那块晶状体到底在干什么。

培根把一块透镜送给教皇，还说透镜能帮视力差的人读书。大约二十年后，意大利出现了眼镜。下一章从眼镜讲起，再到荷兰人的望远镜、开普勒 1604 年说清视网膜成像、斯涅尔和笛卡尔重新找到伊本·萨赫勒那条折射定律，以及显微镜下第一次被看见的微生物。光学从此从“解释看见”变成了“制造看见”。

这一章还没回答一个问题：光本身到底是什么？是一股微粒，还是一种波？第 15 章牛顿和惠更斯会为此争论。再往后，第 24 章麦克斯韦会证明光是一种电磁波，光学这条线和电磁学那条线将在那里会合。

参考来源本章依据

1. Museo Galileo（佛罗伦萨伽利略博物馆），Vitrum 模型库：“The refraction of glass”（托勒密《光学》V.14–18 复原）。brunelleschi.imss.fi.it
2. Y. Zik & G. Hon（海法大学哲学系），“Claudius Ptolemy and Giambattista Della Porta: Two Contrasting Conceptions of Optics”, arXiv:1902.03627, 2019. arxiv.org
3. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），“Light through the ages: Ancient Greece to Maxwell”. mathshistory.st-andrews.ac.uk
4. W. G. Boltz & M. Schemmel, Theoretical Knowledge in the Mohist Canon（Archimedes 丛书 vol. 65），Springer, 2022（开放获取），第 2.4 节与第 3.7 节“Shadows and Mirror Images (‘Optics’), B 17–B 24”。doi:10.1007/978-3-031-08797-4
5. 童恒萍，《钱临照〈墨经〉研究的科学史价值》，《自然辩证法通讯》46 卷第 9 期，2024：73–79。doi:10.15994/j.1000-0763.2024.09.010 jdn.ucas.ac.cn
6. R. Rashed, “A Pioneer in Anaclastics: Ibn Sahl on Burning Mirrors and Lenses”, Isis 81 (1990) 464–491. doi.org
7. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Ibn al-Haytham 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
8. T. Leisten（卡塔尔博物馆管理局 / 普林斯顿大学），“Ibn al-Haytham on optics and the human eye”, Aspetar Sports Medicine Journal 5(1), 2016. journal.aspetar.com
9. G. R. Putland, “The unreasonable effectiveness of the cathetus rule in ancient and modern optics”, arXiv:2606.28851, 2026. arxiv.org
10. J. Harvey, H. E. Smithson, C. R. Siviour 等，“Bow-shaped caustics from conical prisms: a 13th-century account of rainbow formation from Robert Grosseteste’s De iride”, Applied Optics 56(19) (2017) G197–G204. doi.org
11. J. Hackett, “Roger Bacon”, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2020. plato.stanford.edu
12. Thinking 3D（University of St Andrews），“Witelo’s Perspectiva / Book on Optics”. thinking3d.ac.uk
13. Stanford Encyclopedia of Philosophy, “Empedocles”, 2024. plato.stanford.edu
14. Plato, Timaeus 45b–46a, tr. W. R. M. Lamb (Harvard University Press, 1925), Perseus Digital Library (Tufts University). perseus.tufts.edu
15. Stanford Encyclopedia of Philosophy, “Democritus”, 2023. plato.stanford.edu
16. Q. Zhao, “A new perspective of Aristotle’s theory of vision”, Frontiers in Psychology 14 (2023) 1264335. doi.org
17. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Euclid of Alexandria 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
18. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Diocles 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
19. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Heron of Alexandria 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
20. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Claudius Ptolemy 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
21. A. M. Smith, “Ptolemy’s search for a law of refraction: a case-study in the classical methodology of ‘saving the appearances’ and its limitations”, Archive for History of Exact Sciences 26 (1982) 221–240. doi.org
22. P. Adamson, “Al-Kindi”, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2024. plato.stanford.edu
23. S. M. R. Ansari, “Ibn al-Haytham’s scientific method”, UNESCO Courier, 2018. courier.unesco.org
24. Stanford Encyclopedia of Philosophy, “Robert Grosseteste”, 2024. plato.stanford.edu
25. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Roger Bacon 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
26. D. Fussell, University of Texas at Austin, CS384G Computer Graphics 讲义“Ray tracing”；T. Whitted, “An improved illumination model for shaded display”, Communications of the ACM 23(6) (1980) 343–349, doi.org
27. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），“Mathematics and art – perspective”. mathshistory.st-andrews.ac.uk
28. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Filippo Brunelleschi 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
29. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Leon Battista Alberti 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
30. Max Planck Institute for the History of Science（MPIWG），“Alhacen volgare” 研究项目（P. Roccasecca）。mpiwg-berlin.mpg.de
31. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Girard Desargues 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
32. MacTutor History of Mathematics（University of St Andrews），Anthemius of Tralles 传记。mathshistory.st-andrews.ac.uk
33. CNRS PROMES 实验室，“Solar Concentrators”（奥代略 1 MW 太阳炉）。promes.cnrs.fr
34. Courant Institute of Mathematical Sciences（New York University）Archimedes 网站，“Burning Mirrors: Refuting the Legend”。math.nyu.edu
35. MIT 2.009 Product Engineering Processes, “Archimedes Death Ray: Idea Feasibility Testing”（2005，结果页与 FAQ）。web.mit.edu

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