混沌：确定论的边界
方程完全确定、没有任何随机成分，为什么未来仍然算不出来？以及人类怎样学会和这个事实相处。
时代速写一杯咖啡的工夫
1961 年，麻省理工学院气象系的办公室里，一台书桌大小的计算机正在“算天气”。它叫 Royal McBee LGP-30，内存只有 4096 个字，比台式计算器快一千倍左右，比今天的笔记本电脑慢大约一百万倍1。
它的主人是气象学家爱德华·洛伦兹（Edward Lorenz）。他在机器里放了一个玩具版的大气：12 个方程，描述一层被加热、会旋转的流体。机器每算完一“天”，就在纸上打出一行数字2,1。这天他想把其中一段看得更仔细些，于是停下机器，把早先打印出来的一行 12 个数重新敲进去，开机，然后下楼喝咖啡2,1。
大约一小时后他回来，机器已经又算了差不多两个月的天气。新打出来的数字和上一次完全对不上。他的第一反应是真空管坏了，那时候这很常见1。可是在叫人修机器之前，他先去查错误从哪一行开始。结果没有找到哪一处突然出错：新数字一开始和旧的一模一样，然后最后一位开始不同，接着是倒数第二位、倒数第三位，差别大约每四天翻一倍，到第二个月的某个时候，两份“天气”已经毫无相似之处1。
原因很平常。机器内部用六位小数计算，打印时为了省纸只留三位。他敲回去的是四舍五入以后的数，和原来的数相差不到千分之一2。这么小的差别，在他的模型里被一路放大，最后吞掉了整个预报。洛伦兹后来回忆，他当时“相当激动”：如果真实的大气也这样，长期天气预报就是不可能的2。
这件小事撞上的，是一个将近两百年的信念。牛顿力学的方程是确定的：给定此刻的位置和速度，下一刻就被唯一地决定。物理学家一直默认，初始状态知道得差不多，结果也就算得差不多1。行星、彗星、炮弹，都很配合这个信念。洛伦兹的打印纸说明，有些系统不配合。
这一章讲的就是这个“有些”到底有多常见。它从拉普拉斯那句关于“智者”的名言出发，经过庞加莱一篇差点被销毁的获奖论文、洛伦兹的三个方程、一位物理学家用计算器算出的常数，一直走到你手机里的降水概率。
- 1814拉普拉斯在《概率的哲学随笔》里设想一个知道一切的“智者”，对它来说未来和过去一样清楚3,4。
- 1876麦克斯韦指出，“相似的原因产生相似的结果”并不总是成立4。
- 1889庞加莱凭三体问题论文赢得瑞典国王的奖金，年底发现论文有关键错误5。
- 1890修正后的论文发表，第一次在数学上描述了混沌运动6,5。
- 1963洛伦兹发表《确定性的非周期流》，此后十几年少有人引用1,7。
- 1967曼德布罗特在《科学》上问：英国的海岸线有多长8？
- 1972洛伦兹的演讲题目问：巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，会在得克萨斯引起龙卷风吗4,9？
- 1975“混沌”成为一个学科的名字；费根鲍姆用计算器算出 4.6691,10。
- 1989拉斯卡尔的计算表明，整个太阳系的行星运动是混沌的11。
- 1992欧洲和美国的天气预报中心开始每天发布“集合预报”12。
问题钟表宇宙：只要算得够快
1780 年代—1825拉普拉斯把太阳系“修好”了
第 4 章的牛顿留下了一个隐忧。行星之间互相拉扯，这些小扰动日积月累，会不会让某颗行星的轨道越来越扁，最后撞进太阳或者飞出去？
法国数学家拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749—1827）用一生的大部分时间回答这个问题。1780 年代，他证明了行星的平均运动不会随时间单向漂移，轨道的扁度和相互倾角始终保持很小，而且会自己修正回来3。他把这些结果连同天体力学的全部成就，写进五卷本的《天体力学》，从 1799 年出到 1825 年3。第 5 章讲过，同一套摄动计算后来还帮人找到了海王星。
1814“一个智者”
1814 年，拉普拉斯出版《概率的哲学随笔》，内容来自他 1795 年在巴黎高等师范学校的讲课3。书的开头有一段后来被引用了两百年的话，大意是：
假如有一个智者，在某一时刻知道推动自然的全部力，以及组成自然的一切事物各自的位置，又足够强大，能把这些数据全部交给分析处理，那么它就能用同一个公式囊括宇宙中最大天体和最轻原子的运动。对它来说，没有什么是不确定的，未来和过去一样都呈现在它眼前。拉普拉斯，《概率的哲学随笔》，1814。据法文原文意译4
这就是后人常说的“拉普拉斯妖”。原文里并没有“妖”，只有“一个智者”（une intelligence）4。斯坦福哲学百科认为，拉普拉斯心里想的大概是上帝13。
这段话常被拿来当作“机械决定论”的宣言，但有一个细节容易被忽略：它出现在一本讲概率的书里。数学家吉斯（Étienne Ghys）指出，拉普拉斯并不天真。正因为人类没有那样的智慧，才需要概率论来处理我们不完全知道的事情4。拉普拉斯担心的是人的无知，他还没有想到另一种可能：就算无知只有一点点，它也可能被放大到吞没一切。
1876麦克斯韦的道岔
第一个认真把这种可能写下来的物理学家，是麦克斯韦（James Clerk Maxwell）。他在 1876 年的小书《物质与运动》里区分了两句话。“同样的原因总产生同样的结果”是一回事；“相似的原因产生相似的结果”是另一回事，后者只有在初始的小变化只引起结果的小变化时才成立4。他举的反例是铁路道岔：扳道的位置差一点点，火车就可能撞上另一列车，而不是沿原路开走4。
不过麦克斯韦认为，这种敏感是例外，大多数物理现象满足“小变化只带来小变化”4。问题于是变成：这种敏感到底是道岔一样的少数特例，还是藏在许多看似规矩的系统里？拉普拉斯修好的太阳系，会不会也是其中之一？
第 4 章讲过，两个物体互相吸引（比如只有太阳和地球），牛顿可以给出完整的解：椭圆轨道，一圈一圈重复下去。加上第三个物体，比如月球，就没有人找到过一个对任意时刻都适用的通用公式。这就是三体问题。天文学家靠一层层近似来算，近似在几百年内很好用，但它们能不能一直算下去，没人知道。后来庞加莱证明，即使只是太阳加两颗行星，也不存在那种人们一直在找的解析解11。
1885 — 1908庞加莱：一篇差点被销毁的获奖论文
1885国王的悬赏
1885 年年中，瑞典的《数学学报》刊出一则征文启事，为庆祝瑞典和挪威国王奥斯卡二世 1889 年的六十岁生日，悬赏解答四个数学难题，截止日期是 1888 年 6 月 1 日。评委是三位当时最有名望的数学家：瑞典的米塔格-莱弗勒（Gösta Mittag-Leffler）、柏林的魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）和巴黎的埃尔米特（Charles Hermite）5。
第一题就是拉普拉斯的老问题，换成了数学语言：任意多个按牛顿定律互相吸引的质点，能不能把它们的坐标写成一个级数，并且这个级数对任意长的时间都收敛5？换句话说，能不能给太阳系写出一份“永远有效”的时间表。
截止时收到 12 份稿件，5 份回答第一题5。1889 年 1 月 20 日，奖项宣布：奖金 2500 瑞典克朗加一枚金质奖章，授予法国数学家庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912）6,5。他的论文约 160 页，并没有完全解决题目，但评委认为它的方法足够新、足够深，值得获奖14。
1889编辑的问题
按规定，获奖论文要在《数学学报》上发表。负责编辑的数学家弗拉格曼（Edvard Phragmén）读得很细，遇到看不懂的地方就写信问庞加莱6。庞加莱一处处补充说明。在回答这些问题的过程中，他发现自己犯了一个错误6,14。
1889 年 11 月 30 日，他意识到问题出在哪里。在论文里，他假定某两族特殊轨道构成的曲面会平滑地接在一起，合成一张封闭的面；这样一来，附近的运动就被困在里面，系统是稳定的。实际上，这两张曲面会互相穿过，并且以极其复杂的方式反复相交5。原来那个“稳定”的结论就站不住了14。
麻烦的是，论文已经印好，一部分已经寄了出去。米塔格-莱弗勒想方设法把寄出的印本追了回来，今天米塔格-莱弗勒研究所只存着两本当年的错误版本5。重新排印的费用由庞加莱自己承担，一共 3500 多克朗，比他拿到的奖金还多出大约 1000 克朗5。
1890“我甚至不打算画出来”
修正版在 1890 年 12 月刊出，篇幅涨到约 270 页5,14。错误改正之后，论文变得比原来重要得多。数学史家认为，这篇论文第一次描述了“同宿点”，也第一次给出了混沌运动的数学描述6。
那两张曲面互相穿过以后会怎样？庞加莱后来在三卷本的《天体力学新方法》（1892—1899）里描述：每一条曲线永不自交，却必须以非常复杂的方式折叠自己，与网格的每个顶点相交无穷多次。他接着说，这个图形复杂得惊人，他甚至不打算把它画出来1。今天这种结构叫“同宿缠结”，是混沌的典型标志之一1。
它的物理含义是：在这样的区域里，两个几乎一模一样的初始状态，后来的走向可以完全不同。系统仍然严格遵守牛顿定律，只是“差一点”不再意味着“结果也差一点”。
1898—1908从数学到天气
同一时期，法国数学家阿达马（Jacques Hadamard）在 1898 年研究了一类弯曲曲面上的“最短路线”，发现出发方向哪怕改变得再微小，也足以让路线最终的走向变得完全不同4。
庞加莱则在 1908 年的普及著作《科学与方法》里，把这个想法讲给普通读者听。他写道，初始条件中的微小差别可能在最终现象中产生巨大的差别，前者一点小误差会造成后者的巨大误差，预测变得不可能1。他举的例子正是天气：气象学家看得出大气处在不稳定的平衡中，知道某处要生出一个气旋，却说不出在哪里；某一点的温度高或低十分之一度，气旋就在这里而不是那里爆发，席卷原本可以幸免的地方4。
这段话写于 1908 年，离洛伦兹的打印纸还有半个多世纪。在那半个多世纪里，庞加莱、阿达马和同时代人看到的这些怪异现象，常常被当作数学上的病态特例或者实验噪声，有人干脆叫它们“怪物画廊”1。缺的是一台能把这些“怪物”一步步算出来、摆在眼前的机器。
1961 — 1972洛伦兹：被四舍五入的天气
从数学系到气象站
洛伦兹（1917—2008）本来学数学。他在哈佛读研究生时的导师伯克霍夫（George Birkhoff），恰好是研究庞加莱遗留问题的专家，但洛伦兹当时做的是别的课题2。1942 年，他没有等着被征兵，而是报名参加陆军航空队的气象培训，后来在塞班和关岛为轰炸机预报高空风2。战后他留在麻省理工学院，1948 年拿到气象学博士学位2。
那时气象学界有一场争论。天气预报能不能直接解流体力学方程？英国科学家理查森（Lewis Fry Richardson）在 1922 年试过，用手算了大约两年，结果算出某地 6 小时内气压变化 145 百帕，比实际大了两个数量级15。1950 年，查尼（Jule Charney）、冯·诺伊曼（John von Neumann）等人在 ENIAC 计算机上用简化的方程做出了第一批计算机天气预报，一份 24 小时预报大约要算 24 小时15。另一派是统计预报：把过去的天气数据做线性回归，用今天的数推明天的数。不少统计派相信，回归方法的效果不会比解方程差2。
洛伦兹不信。他想造一个简单的“假天气”，让计算机按方程算出来，再看统计方法能不能把它预测出来。如果模型的解是周期性的，统计方法很容易猜中，所以他特意去找不重复的解，找到了一组 12 个变量的方程2。统计方法的成绩确实平平，正如他所料2。开头那杯咖啡，就发生在这项工作中途。
1963三个方程
12 个变量还是太多，不容易看清发生了什么。洛伦兹去拜访同行萨尔茨曼（Barry Saltzman），对方给他看了一个 7 变量的模型，描述一层流体被下面加热、上面冷却时的翻滚（对流）。其中一组解不规则地变化，而且 7 个变量里有 4 个很快趋于零2。洛伦兹意识到，只剩 3 个变量的系统也能产生这种不规则2。
这 3 个变量的意思大致是：x 是对流翻滚的强弱（正负表示朝哪个方向转），y 是上升气流和下沉气流之间的温差，z 表示竖直方向的温度分布偏离直线的程度。他选的参数是 σ = 10、r = 28、b = 8/3，这组数字后来一直沿用4,1。论文于 1963 年 3 月发表在《大气科学杂志》上，题目是《确定性的非周期流》1,7。他最初想用的题目是“确定性湍流”，被编辑劝住了1。
论文里更让人意外的，是轨迹的样子。从任何地方出发，轨迹都会很快被吸到空间里一个有限的区域，然后绕着两个“洞”转圈，一会儿左边几圈，一会儿右边几圈，永不重复。洛伦兹仔细观察打印的数值后推断，这片区域看上去是两张合在一起的面，其实每张面都是两张，两张又是四张，四张又是八张，最后是无穷多层贴得极近的面2,4。后人把这种东西叫做奇怪吸引子，它的维数大约是 2.06，比一张面多一点点1。
下面的演示用的就是洛伦兹的三个方程和他的参数。两条轨迹从几乎同一点出发，你可以决定它们一开始差多少。
在默认的千分之一下，两条轨迹在 t ≈ 9.6 附近分开。往右拖滑块，把初始差缩小到十亿分之一，你会发现分开的时刻往后挪了，但挪得并不多。初始精度每提高十倍，只多换来差不多同样一小段时间。这是混沌系统最让预报员头疼的性质，下一节会用一个公式把它说清楚。
再看左下角：两个点分开以后，各走各的，可它们始终在同一个“蝴蝶翅膀”形的区域里转。单条轨迹算不准，轨迹落在哪片区域、在左右两边各待多久，却是稳定的。
被冷落的十几年
这篇论文今天的引用已超过一万次16，可它发表后的十二年里，引用不到 20 次1。气象学家读它，数学家和物理学家几乎不知道它。1975 年，比利时物理学家鲁埃尔（David Ruelle）写道，洛伦兹的工作“不幸被忽视了”4。转折来自同一年李天岩和约克的一篇数学论文，后面会讲到1。
被忽视的不止洛伦兹一个。日本的上田睆亮在 1961 年就在模拟计算机上看到了后来被认出是混沌的现象，同样长期没人理会1。这些发现分散在天体力学、数学、电子工程和气象学里，各行的人并不知道彼此的发现1。
1963—1972海鸥、蚂蚱和蝴蝶
洛伦兹最早打的比方是一只海鸥。1963 年他在另一篇文章里写道，有位气象学家说，如果这个理论是对的，一只海鸥扇一下翅膀就足以永远改变天气的进程；他补了一句：争论还没有定论，但最新的证据似乎对海鸥有利2。
更早还有一只蚂蚱。1898 年，美国物理学家富兰克林（W. S. Franklin）在一篇书评里写道，长期的详细天气预报是不可能的，蒙大拿州一只蚂蚱的跳跃，就可能让一场风暴从费城偏到纽约2。
蝴蝶出现在 1972 年 12 月 29 日。那天洛伦兹在美国科学促进会第 139 届年会上演讲，题目是《可预报性：巴西一只蝴蝶扇动翅膀，会在得克萨斯引起龙卷风吗？》4,9。据多处转述，这个题目是会议召集人替他拟的，因为洛伦兹没有及时交题目。他的传记作者、麻省理工学院的伊曼纽尔（Kerry Emanuel）认为，“蝴蝶”这个比喻可能在 1969 年就被气象学家斯马戈林斯基用过2。真正让“蝴蝶效应”家喻户晓的，是记者格雷克 1987 年的畅销书《混沌：开创新科学》2,4。
概念确定，却算不准
误差的复利
洛伦兹打印纸上的规律，可以写成一个和复利一样的公式。误差按比例一倍一倍地乘上去，就像利滚利：
- δ0
- 一开始的误差，比如测量误差或者四舍五入的误差
- δ(t)
- 经过时间 t 以后，预报和真实情况之间的误差
- τ
- 误差的“翻倍时间”：每过 τ，误差变成两倍。洛伦兹 12 变量模型里大约是四天1
- t / τ
- 一共翻了几次倍
这个公式解释了演示里的现象。精度提高十倍，预报期限并不会延长十倍，只是加上固定的一段。想多算一倍的时间，初始数据就要准上千倍、百万倍。这和普通的误差很不一样：炮弹的落点误差，通常只是随距离按比例变大。数学上，衡量这种翻倍快慢的量叫李雅普诺夫指数，指数为正，就说明附近的轨迹按指数规律分开17。
决定论和可预测性是两回事
这里有一个容易混淆的地方。洛伦兹的方程里没有任何随机成分，同一个初始值永远算出同一个结果。这样的系统叫确定性的。它的问题出在另一个方向：我们永远不可能精确地知道初始值。斯坦福哲学百科把这两者分得很清楚：决定论说的是世界本身怎样运行，可预测性说的是我们能知道什么；混沌系统是确定的，但在实践中不可预测13,17。
所以混沌并没有推翻拉普拉斯。他那位“智者”如果真能知道无穷多位小数，仍然能算出一切。混沌说的是，任何有限的观测者，哪怕只差一点点，在足够长的时间以后也会和那位智者一样无知。这就是本章标题里“确定论的边界”的意思。
算不准天气，算得准“气候”
混沌并不意味着什么都说不出来。演示里两条轨迹分开以后，仍然在同一个吸引子上转。吸引子本身的形状，轨迹在左右两边各停留多久这类统计性质，对初始值并不敏感4。用天气打比方：你没法知道一个月后某天下不下雨，却可以相当有把握地说，七月一般比一月热。
洛伦兹后来还发现了一个更深的问题。他的三变量模型属于“低阶”混沌：只要初始误差足够小，就能把预报推得任意远。1969 年他研究了一个包含许多尺度的模型，发现小尺度上的误差长得更快，并且会一级级传到大尺度上；在这种系统里，即使初始误差趋近于零，可预报的时间也有一个到不了的上限2。真实的大气更像后者。“它怎么改变了世界”一节会看到，这个上限大约是两周。
1988—1989回到拉普拉斯的太阳系
那么拉普拉斯“修好”的太阳系呢？答案在计算机足够快以后才出来。1988 年，萨斯曼和威兹德姆用一台专门造的计算机“数字太阳系仪”积分外行星的运动，发现冥王星的轨道是混沌的，误差翻 e 倍（约 2.7 倍）的时间约为 2000 万年11。1989 年，法国天文学家拉斯卡尔（Jacques Laskar）算了 2 亿年，发现整个行星系统都是混沌的，这个时间只有约 500 万年，混沌主要来自内行星之间的共振11。
这并不是说地球明年会出事。500 万年翻 e 倍，意味着在人类关心的时间尺度上，行星的位置仍然可以算得极准，几十万年都没有问题11。但拉普拉斯想要的那种“永远有效”的时间表，原则上并不存在。研究太阳系混沌的天文学家莱卡尔等人在综述里打趣说：太阳系并不稳定，它只是老了11。那些不稳定的天体，早就被甩出去了。
1975 — 1980从虫口到 4.669
1976一个连中学生都会算的方程
洛伦兹的方程至少还要计算机来解。生态学家梅（Robert May）在 1976 年 6 月的《自然》上提醒大家，用不着计算机也能看到混沌18。他考虑的是最简单的种群：一年繁殖一次、上下代不重叠的昆虫，很多果园和农田害虫就是这样18。今年有多少虫，决定明年有多少虫：
- xn
- 第 n 年的虫口，用“占环境最多能养活的数量的比例”表示，在 0 到 1 之间
- r
- 繁殖率：虫少的时候，每年大约变成 r 倍
- 1 − xn
- 拥挤的效应：虫越多，食物越紧，增长越慢
梅在文章里说，这样简单而确定的方程，可以表现出从稳定的平衡点、一级级分岔的周期，到看似随机的涨落这一整套行为18。他在文末呼吁，把这种方程放进初等数学课，让学生亲眼看看简单的非线性方程能做出多么狂野的事18。
前一年，1975 年，数学家李天岩和约克（James Yorke）发表了一篇题为《周期三意味着混沌》的论文，证明这类映射里只要出现周期为 3 的循环，就必然有无穷多种周期和不规则的轨道。“混沌”从此成了这门学问的名字1,19。正是这篇论文，让许多数学家和物理学家第一次知道了洛伦兹1。
下面的演示可以亲手调 r。上图叫分岔图：横轴是 r，每个 r 上画出种群长期会到达的那些数值。下图是两个虫口只差百万分之一的果园，逐年的变化。
从左往右拖一遍。r 小于 3 时，虫口稳定在一个数上。过了 3，它开始两年一循环：一年多、一年少。过了 3.449 左右，变成四年一循环，接着是八年、十六年……分岔一次比一次来得快，到 3.57 附近，周期变成无穷长，混沌开始了。混沌区里还藏着几条空白的竖带，比如 3.83 附近，虫口又突然变得规矩，三年一循环。
1975一台慢吞吞的计算器
物理学家费根鲍姆（Mitchell Feigenbaum，1944—2019）当时在美国洛斯阿拉莫斯国家实验室工作20。1974 年 12 月他买了一台 HP-65 可编程计算器10。他的传记作者认为，这个发现之所以显露出来，恰恰因为他用的机器算得很慢，慢到他能一步步看清计算的中间过程10。1975 年 8 月，他算出这个比例约为 4.66910。
这个数他不认识，查不到它和任何已知常数的关系10。到了 10 月，他发现换成别的映射，只要也是一路倍周期地走向混沌，算出来的还是同一个比例10。下面是用计算机重算的逻辑斯谛映射分岔点：
| 分岔 | r 的值 | 与上一个的距离 | 相邻距离之比 |
|---|---|---|---|
| 1 年 → 2 年 | 3.000000 | — | — |
| 2 年 → 4 年 | 3.449490 | 0.449490 | — |
| 4 年 → 8 年 | 3.544090 | 0.094600 | 4.751 |
| 8 年 → 16 年 | 3.564407 | 0.020317 | 4.656 |
| 16 年 → 32 年 | 3.568759 | 0.004352 | 4.668 |
| 32 年 → 64 年 | 3.569692 | 0.000933 | 4.669 |
| 无穷多次以后 | 约 3.5699 | 4.6692… |
- rn
- 第 n 次倍周期分岔发生时的参数值，比如上表的 3.449490、3.544090……
- 分子、分母
- 前一段间隔和后一段间隔
- →
- “越来越接近”：分岔次数越多，这个比值越接近一个固定的数
这件事的意义在于普适性。具体的方程描述虫子、电路还是流体，并不影响这个数。于是物理学家可以做一个大胆的预言：真实的物理系统如果走同一条路进入混沌，实验测出的比值也应当接近 4.669。
费根鲍姆的第一篇论文 1976 年 4 月写成，审了六个月被退稿；第二篇也被退过。可预印本在同行间流传，到 1977 年已经有一千多位科学家来信索要。论文最终在 1978 年发表10。
1980液氦里的验证
验证来自一个很小的实验。法国物理学家利布沙贝（Albert Libchaber）和莫雷尔（Jean Maurer）在极低温下做流体对流实验：从下面加热一小盒流体，测量温度的起伏。他们观察到的倍周期分岔，证实了费根鲍姆预言的普适性1。这正是洛伦兹那个对流问题的真实版本。1986 年，费根鲍姆和利布沙贝共同获得沃尔夫物理学奖1,20。此后在多种系统里，包括洛伦兹方程本身，都找到了同样的倍周期普适性1；洛克菲勒大学的讣告提到，从电路到生物过程都有这种行为20。
中国学者也参与了这场研究。中国科学院理论物理研究所的郝柏林等人研究混沌的符号动力学，他的“实用符号动力学”获得了 1992 年中国科学院自然科学奖一等奖和 1993 年国家自然科学奖二等奖21。
1967 — 1982分形：英国的海岸线有多长
1967 年，IBM 研究员曼德布罗特（Benoit Mandelbrot，1924—2010）在《科学》上发表了一篇只有三页的文章，标题是一个听起来很傻的问题：英国的海岸线有多长8,22？
他的回答是：这个问题没有确定的答案。用一把 100 公里长的尺子沿海岸量，会跨过许多海湾；换成 10 公里的尺子，就要绕进那些海湾，量出来的总长变长；再换成 1 公里，又要绕进更小的湾和岬角。海岸的细节一层套一层，尺子越短，量出的长度越长8。
他用的数据来自一位老熟人：理查森（L. F. Richardson），就是本章前面那位在 1922 年手算天气预报的英国人。理查森留下了一批测量海岸线和国界的数据，发现量出的长度和尺子长度在对数坐标上排成直线8。曼德布罗特把直线的斜率解释成一种“维数”D：英国西海岸 D = 1.25，澳大利亚海岸约 1.13，南非海岸最光滑，D = 1.028。一条普通的光滑曲线，D 是 1；这些海岸线的维数介于 1 和 2 之间，是分数。
把一条线段分成 N 段，每段是原来的 1/N；一个正方形分成 N 块，每块边长是原来的 1/√N。曼德布罗特把这个关系推广：如果一个图形可以分成 N 个和整体形状一样、尺寸缩小到 1/k 的小块，它的维数就是 D = log N ÷ log k8。经典的科赫曲线，每一段都被换成 4 段、每段长 1/3 的折线，于是 D = log 4 ÷ log 3 ≈ 1.26，和英国海岸差不多。按这种办法无穷次地加细，曲线的长度是无穷大8。
1975 年，曼德布罗特用拉丁文 fractus（破碎的）造了一个新词 fractal，中文译为分形，同年出版《分形对象：形状、偶然与维数》23,22。1982 年的《大自然的分形几何》把这个想法带给了广大读者22,24。他的核心主张是，分形的性质在大自然里几乎随处可见，云、山、海岸都在不同尺度上重复自己；数学里以光滑为标准的那套图景，用来描述它们是有根本缺陷的22。
分形和混沌是同一枚硬币的两面。洛伦兹在打印纸上看到的“无穷多层贴在一起的面”，就是一个分形，维数约 2.061。混沌系统把一团初始状态在一个方向上拉长、在另一个方向上压扁，因为不能跑出有限的区域，又只好把拉长的部分折回来。像揉面或做千层酥那样一遍遍拉伸和折叠，就得到了分形1。分形的研究在 1970 年代成熟，恰好赶上混沌被广泛认识，这并非巧合1。
影响它怎么改变了世界
混沌理论没有造出某一台新机器，它改变的是人们对“能预测到什么程度”的判断。这一点最直接地体现在每天的天气预报里。
数值天气预报几十年来一直在进步。以欧洲中期天气预报中心（ECMWF）为例，有用的确定性预报目前能做到 10 天左右，30 年前只有 7 天；美国国家飓风中心的路径预报，平均每十年提前大约一天，2016 年大西洋飓风 5 天路径的误差，已经比 1990 年 2 天路径的误差还小25。
但洛伦兹 1969 年说的那个上限确实存在。2019 年，美国宾州州立大学、ECMWF、美国国家海洋和大气管理局和麻省理工学院的研究者用当时最精细的全球模式做实验：两份预报的起点只差现在分析误差的十分之一，相当于接近完美的初值，结果在大约 14 到 15 天后，两份预报的差别还是长到和随便挑两天的天气差别一样大25。他们的结论是：中纬度逐日天气的内在可预报性极限大约是两周；把今天的初始误差再缩小十倍，最多能把预报延长约 5 天；雷暴这类小尺度天气更难，200 公里以下的尺度不到 3 天25。所以“下个月 15 号会不会下雨”这种预报，和计算机快慢无关，原则上就做不出来。
既然初始值永远测不准，洛伦兹在 1964 年就提议：干脆从许多个略有差别、但都同样可信的初始状态出发，各算一遍，看结果分散得有多开2。这就是集合预报。1992 年底，ECMWF 和美国国家环境预报中心（NCEP）先后把它变成每天的业务：ECMWF 最初每周三天，每次 33 份预报，网格约 320 公里；1996 年增到 51 份，2016 年网格细到约 18 公里12。加拿大 1995 年跟进，其他国家陆续加入12。
ECMWF 的回顾文章称之为天气预报的“范式转变”：预报员第一次拿到的不只是一种未来，而是一组可能的情景，可以算出某件事发生的概率，也能判断这次预报有多可靠12。今天集合预报的产品包括某地降水超过某个量的概率、极端天气指数、各种可能的天气情景等12。下面这张“意大利面图”就是集合预报的样子。
分形不只是好看的图。IBM 的历史资料说，曼德布罗特的工作帮助解决了电话线传输数据时的噪声干扰问题；他的模型被用在电影《星际迷航 2：可汗之怒》和《星球大战：绝地归来》的画面里，也被用于生物学、气候科学和金融市场的分析24。费根鲍姆后来也把数学用在了意想不到的地方：他为《哈蒙德世界地图集》设计了地图投影方法和让地名标注互不重叠的算法20。
混沌最深的影响也许在观念上。生态学家以前相信，环境稳定，种群就会稳定在一个平衡值；梅的方程说明，种群可能自己就会剧烈波动，不需要外界的扰动2,18。化学里，某些催化反应被证明是混沌的；经济学开始认真追问，市场的起伏究竟来自少数变量的混沌，还是大量随机噪声2。有研究认为，健康人的心跳因为和呼吸耦合而带有混沌成分1。
这些例子共同指向一个结论：一个系统的规律完全清楚，并不等于它的未来可以算出来。麻省理工学院的伊曼纽尔在洛伦兹去世时说，洛伦兹证明了某些确定性系统存在形式上的可预报性极限，给“笛卡尔式的宇宙”的棺材钉上了最后一颗钉子9。对天气、生态、经济这类系统，负责任的预测应当说清楚“能看多远”和“有多大把握”。集合预报就是把这种谦逊变成了一套每天运行的制度。
误解蝴蝶、随机和“混乱”
洛伦兹本人在 1972 年的演讲里就说过，如果一只蝴蝶扇翅膀能促成一场龙卷风，它同样能阻止一场龙卷风；世界上还有千百万只蝴蝶和更有力气的动物，包括人类。他的看法是，这些微小扰动不会增加或减少龙卷风出现的次数，最多改变各种天气事件出现的先后顺序4。蝴蝶效应说的是“无法预测”，不是“小事能制造大事”。
承上启下第一单元的终点
上一章讲到纳维—斯托克斯方程和雷诺的湍流实验：流体的方程早就写出来了，可水流一旦变急，就翻滚得没人算得准。这一章给出了部分解释。洛伦兹的三个方程，本来就是从一层被加热的流体里简化出来的；利布沙贝在低温实验里看到的，也是对流一步步走向混沌。湍流和混沌的关系至今没有完全弄清，洛伦兹的传记作者特别提到，纳维—斯托克斯方程的解是否具有这种行为仍是悬而未决的大问题2。
到这里，第一单元“运动与天空”走完了一整圈。第 1 章的亚里士多德认为凡动者必有推动者；第 4 章的牛顿把天上和地上统一成一组方程；拉普拉斯据此想象出一位无所不知的智者；庞加莱和洛伦兹又发现，即使方程完全确定，有限的我们也只能看到有限远的未来。牛顿力学没有错，它只是比人们以为的更难“用”。
下一章开始第二单元：热。我们会回到 17 世纪，从伽利略的测温器讲起，问一个看似简单的问题：温度到底是什么？这条线最后会在第 11 章和本章会合。麦克斯韦和玻尔兹曼面对一盒有无数分子的气体，没有人能追踪每一个分子，于是他们用概率和统计来描述它，这和拉普拉斯写那本概率书的出发点一脉相承。
自测五个问题
1. 洛伦兹的两次计算为什么会越算越不一样？机器出故障了吗？
2. 庞加莱的获奖论文错在哪里？改正以后为什么反而更重要？
3. 如果天气误差每 2 天翻一倍，把初始测量精度提高 1000 倍，预报期限大约能延长多少？
4. 在虫口演示里，r = 3.2 和 r = 3.9 时，两个只差百万分之一的果园有什么不同？这说明什么？
5. 集合预报和传统的“一份预报”有什么区别？为什么说它是混沌理论的直接应用？
参考来源本章依据
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图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。演示 2 下方表格中的分岔点数值为本章用计算机二分法重新计算的结果。