从杠杆到量子 · 一部按时间走的物理学第 6 章 / 第一单元 · 运动与天空

第 6 章 · 1630—1903

流体：从帕斯卡到飞机

空气有没有重量，一桶水怎样把力放大，水流为什么会突然乱成一团，人又怎样靠这些知识飞上了天。

阅读约 28 分钟两个可以动手的演示公式：3 个

序章第一单元 · 运动与天空 · 6 / 7终章

时代速写多姆山上的两根玻璃管

1648 年 9 月 19 日，法国中部的克莱蒙城。佩里埃（Florin Périer）一早出门，先去城里的米尼姆修道院，装好两根一模一样的玻璃管。每根管子一头封死，灌满水银，倒插进一盆水银里¹。

两根管里的水银都往下落了一截，停在 26 法寸 3 法分多一点，约合 71 厘米，管顶留下一段空空的玻璃²。佩里埃把一根留在修道院，另一根带上了城外的多姆山（Puy de Dôme）。这座火山海拔 1465 米¹。

半山腰的一处泉水边，水银柱是 25 法寸。到了山顶，只剩 23 法寸 2 法分，约 63 厘米²，比山下矮了大约 3 法寸。留在修道院的那一根，一整天都没有变¹。

设计这个实验的是佩里埃的妻弟，那年 25 岁的布莱兹·帕斯卡（Blaise Pascal）。他在前一年写信，请姐夫替他上山¹。帕斯卡推想，如果托住水银的是头顶那一大片空气的重量，那么爬得越高，头顶的空气越少，能托起的水银就越短³。山上的读数正是这样。

这一章讲流体，也就是会流动、没有固定形状的东西：空气、水、水银，还有血液。前半章讲静止的流体，核心是“压强”；后半章讲流动的流体，要处理速度、摩擦和湍流。最后落在一架用风洞数据设计出来的飞机上。

1644托里拆利在佛罗伦萨做水银实验，管里的水银停在约 76 厘米⁴。
1648佩里埃在多姆山上下测量水银柱，证明它随海拔降低¹。
1654—1657格里克用抽气机抽空铜半球，在雷根斯堡和马格德堡公开演示^5,6。
1662玻意耳发表空气压强与体积成反比的数据⁷。
1663帕斯卡的《论液体平衡》在他去世后出版³。
1738丹尼尔·伯努利出版《流体动力学》⁸。
1755欧拉在柏林宣读《流体运动的一般原理》，写出流体运动方程⁹。
1822—1845纳维和斯托克斯先后给方程加上流体的内摩擦^10,11。
1883雷诺用一丝染色的水，看清了水流从平稳变混乱的那一刻¹²。
1903莱特兄弟在基蒂霍克完成四次动力飞行¹³。

问题泵为什么抽不过十米

17 世纪的欧洲到处都在用抽水泵：矿井要排水，城市要供水，贵族的花园要喷泉。工匠们早就发现一件怪事，吸水泵从井里往上吸水，水柱最高只能升到十米上下，再高就吸不动了，泵做得再好也没用。

伽利略注意过这个限度。他把水能被吸上去的最大高度定为 18 臂长（braccia），约合 11 米^14,15。1630 年，巴利亚尼（Giovan Battista Baliani）写信告诉他，自己装了一根约 21 米高的虹吸管，水就是不过去。伽利略回信解释说，真空能产生的力有一个限度¹⁴。

在当时，这几乎是唯一说得通的解释。亚里士多德派相信“自然厌恶真空”，用这条原则解释抽吸、呼吸等一大堆现象¹⁶：你一拉活塞，自然不允许下面出现空隙，水只好跟上来。人们还普遍认为，空气天生是轻的，没有重量¹⁷。第 1 章讲过，亚里士多德论证过真空根本不可能存在。

1640—1643 年间，罗马数学家贝尔蒂（Gasparo Berti）想用实验检验水在管子里到底能停多高。据马焦蒂 1648 年写给梅森的信，他在自家院子里立起一根约 22 臂长的铅管做这个实验，在场的有托里拆利、耶稣会学者基歇尔和马焦蒂等人¹⁵。管顶那段没有水的地方，里面到底有什么？实验留下了这个让人坐立不安的问题。

先认识一个词：压强

压强是“压在每一块面积上的力”。同样一个人，穿运动鞋站在雪地里会陷下去，穿上滑雪板就不会，因为体重被分摊到了更大的面积上。今天压强的单位叫帕斯卡（Pa），1 帕就是每平方米上压 1 牛顿的力，大约是把一张纸平摊在桌上产生的压强。这个名字是 1971 年国际计量大会定下的¹⁸。我们头顶的大气，在海平面上产生约 101 325 帕的压强¹⁹，相当于每平方厘米上压着一公斤多的东西。

1644 — 1663托里拆利和帕斯卡：空气之海的底部

1644换一种重得多的液体

托里拆利（Evangelista Torricelli）在罗马跟伽利略的学生卡斯泰利学过数学，1641 年来到佛罗伦萨，陪伽利略度过了最后三个月¹⁷。他接着琢磨抽水泵的问题，猜想把水托住的也许是外面空气的重量。

如果是这样，就能做一个预言。水银比水重约 13.6 倍，同样的空气压着，只能托起十几分之一高的水银柱。十米高的水管很难摆弄，一米长的玻璃管就够了。

1644 年春天，他在佛罗伦萨做了这个实验：一根一端封闭的玻璃管灌满水银，用手指堵住开口，倒过来插进一盆水银里，再松开手指。管里的水银只下降了一部分，停在约 76 厘米的高度⁴，上面留出一段空着的玻璃。这段空间后来就叫托里拆利真空。

他把实验和解释写在 1644 年 6 月 11 日和 28 日给朋友里奇（Michelangelo Ricci）的两封信里，这是他本人描述这个实验仅有的两份文献^4,20。信里有一句后来常被引用的话，大意是“我们生活在空气之海的底部”¹⁷。佛罗伦萨伽利略博物馆做“真空”展览时，就拿这句话当了一节的标题⁴。

托里拆利也注意到，水银柱的高度每天会随天气起伏，可他关心的是真空和空气的重量，所以这件东西当时只叫“托里拆利管”¹⁷，还没人把它当作测天气的仪器。他 1647 年去世，年仅 39 岁¹⁷。

托住水银柱的道理，可以写成一个式子。液体在深度 h 处的压强，等于它上面那一整根液柱的重量除以底面积：

p = ρ g h

p: 压强（帕斯卡）
ρ: 液体的密度（千克/立方米）。水约 1000，水银约 13 600
g: 重力加速度，约 9.8 米/秒²
h: 液柱的高度（米）

读法：液体越重、越深，压强越大。反过来，外面的大气压 p 是固定的，能托起的液柱高度 h 就和液体的密度成反比：101 325 帕能托起 0.76 米的水银，或者 10.3 米的水。

下面这个演示把托里拆利的管子和佩里埃的山放在一起。你可以换液体，也可以把管子带到不同的海拔。

托里拆利管上山演示 1 · 换液体，改海拔

海拔 0 米

换成水试试。水柱要 10 米多高，比三层楼还高。这就是吸水泵的极限。泵只能把管子里的空气抽走，真正把水推上去的，是井外水面上的大气压。大气压只有这么大，水柱到了 10 米多就推不动了。伽利略的 18 臂长和这个数字很接近。

1646 — 1648帕斯卡：把管子带上山

托里拆利的实验经过梅森神父的通信网传到法国，1646 年帕斯卡听说了它¹。他也动手做这类实验，1647 年 10 月写成《关于真空的新实验》，引来不少否认真空存在的学者的反驳²¹。同年 9 月 23 日，笛卡尔来拜访他，两人为真空争了两天。笛卡尔后来声称，是自己建议帕斯卡做这些实验的²¹。

水银柱停在 76 厘米，可以说是空气的重量托着它，也可以说是“自然厌恶真空”的力量只有这么大。两种解释都能说明同一个读数。帕斯卡想要一个能分出胜负的实验：如果是空气的重量，那么到了高处，头顶的空气变少，水银柱应当变矮；如果是“厌恶真空”，山顶和山脚没理由不同³。他写信给住在克莱蒙的姐夫佩里埃，请他上山去量¹。

开头那次登山就是这个实验。它的设计很讲究：两根一样的管子，一根留在山下当对照，以排除“这一天天气变了”的可能¹。这和序章里海什木遮灯的做法是同一个思路，只改变一个条件，看结果跟着变不变。

木刻：几个戴三角帽的人站在山顶，中间一人手持一根竖直的长玻璃管，管底插在一个小盆里，旁边的人在本子上记录 — **佩里埃在多姆山顶测量托里拆利管**，扬·达尔让（Yan Dargent）木刻，19 世纪¹。看画面中央：一人扶着竖直的玻璃管，管底插在水银盆里，旁边的人正在记录读数。人物的三角帽和服装是 18 世纪的样式，画家并没有照 1648 年的实际情形画。Yan Dargent，公有领域 · 美国国会图书馆藏，经 Wikimedia Commons

帕斯卡很快把佩里埃的报告印成小册子，题为《关于液体平衡的大实验的记述》¹。同一时期，罗贝瓦尔、奥祖、帕斯卡，后来还有意大利的西芒托学院和英国的玻意耳，都做过一个更巧妙的“真空中的真空”实验：把整套托里拆利实验放进真空里做，管里的水银一点也托不住，全部落回盆中；放进空气，水银又升了起来²²。

托里拆利管从此有了新用途。高度可以用它来量，天气也可以。后面“它怎么改变了世界”一节会讲，它怎样变成了天气预报的主角。

1653 — 1663帕斯卡定律：一桶水就是一台机器

从 1653 年起，帕斯卡把他对液体的研究写成《论液体平衡》，MacTutor 数学史网站称它是历史上第一部系统的流体静力学著作²¹。书在他去世后的 1663 年才出版³。

书里最有名的是这样一个设想：一个装满水的密闭容器，开两个口，各装一个活塞，一个活塞的面积是另一个的 100 倍。一个人推小活塞，就能和 100 个人推大活塞打成平手。帕斯卡说，一个装满水的容器，是一条新的力学原理，也是一台新机器，能把力放大到你想要的任何程度¹⁶。

原因是，施加在密闭液体上的压强，会原封不动地传到液体的每一处。这就是帕斯卡定律。小活塞上的压强等于大活塞上的压强，写成 F₁ / A₁ = F₂ / A₂。面积大 100 倍，力就大 100 倍。代价是小活塞要推 100 厘米，大活塞才升 1 厘米，和杠杆一样，省力就要费距离。

同一本书还演示了一个违反直觉的现象：液体对容器底部的压强，只取决于液面有多高，和装了多少液体、容器是什么形状都没有关系²³。细长的管子和宽大的水桶，只要水面一样高，底部受的压强就一样。这个“流体静力学佯谬”最早由荷兰的斯蒂文分析过，帕斯卡在书里做了演示；后来的物理课上，演示它的仪器常常就叫“帕斯卡装置”²³。

海平面的大气压101 325 帕约等于 760 毫米水银柱，或 10.3 米水柱¹⁹

多姆山顶约 85 毫米佩里埃量到的水银柱比山下矮这么多²

帕斯卡的机器1 人 = 100 人两个活塞面积比 1 : 100 时¹⁶

1650 — 1676抽气机：马德堡半球和玻意耳

1654 — 1672格里克：16 匹马拉不开的铜球

格里克（Otto von Guericke）1602 年生于德国马格德堡，后来当上了这座城市的市长²⁴。1631 年三十年战争中，马格德堡被攻破洗劫，约两万居民被杀⁶。

他从另一头着手研究真空。既然大家争论真空能不能存在，那就造一台机器，把一个容器里的空气抽出来。1650 年代初，他造出了抽气机，样子像一个阀门反装的打气筒。他先试着抽木桶，木桶总是漏气，最后换成铜球才成功²⁴。

最有名的演示用的是两个铜制半球，直径约 1.2 英尺（约 37 厘米），对口合在一起，抽掉里面的空气²⁵。1654 年，他在雷根斯堡的帝国议会上演示过抽气实验⁶。伽利略博物馆的说明是，1657 年在马格德堡公开演示时，两队各 8 匹马朝相反方向拉，才把两个半球拉开⁵。打开阀门放进空气，两个半球就自己掉了下来²⁴。

铜版画：前景是两队马朝相反方向拉，中间连着一个铜球；画面上方单独画着两个半球、一个皮圈和阀门部件；远处是一座城市 — **格里克《马德堡新实验》（1672）中的版画**，图版标题 ICONISMUS XI。看画面**中间的马队**：左右各一队马，用绳子拴在铜球两边往外拉。上方是零件图：分开的和合上的铜球、塞子（图 IV），还有一个圆环（图 II）。Otto von Guericke，公有领域 · 美国国会图书馆藏，经 Wikimedia Commons

马为什么拉不开？可以自己算一下。直径 37 厘米的圆，面积约 0.1 平方米，乘上每平方米约 10 万牛的大气压，约一万牛。也就是说，如果里面抽得一干二净，外面的空气就以一吨多重物的力量把两个半球压在一起。格里克的抽气机抽不干净，实际的力小一些，但也足够让马队吃力了。

格里克的演示很快出了名。耶稣会学者肖特（Gaspar Schott）1657 年出版《水力—气动力学》，介绍了格里克的仪器和实验⁶。格里克自己的书《关于真空空间的马格德堡新实验》直到 1672 年才在阿姆斯特丹出版⁵。他还演示过：在抽空的容器里摇铃听不到声音，动物会死去，火焰会熄灭²⁵。第 21 章讲静电时，还会再见到这位市长。

1660 — 1676玻意耳：空气是一根弹簧

格里克的消息传到英国，学者玻意耳（Robert Boyle）也想要一台抽气机。造出它的是他的助手胡克（Robert Hooke），胡克大约从 1655 年起就受雇于他⁷。1660 年，玻意耳出版《关于空气弹性及其效应的物理—力学新实验》，书里记录了用这台抽气机做的 43 个实验⁷。

玻意耳关心的是空气的另一种性质，它像弹簧一样，压它，它就往回顶。批评者不服，他便在 1662 年第二版的附录里补上了一组数字。他和胡克拿一根 J 形玻璃管，短的一端封死，长的一端开口，从开口往里倒水银。倒得越多，封在短端的那一小段空气就被压得越小。量出水银柱的高度，就知道空气受了多大的压强⁷。

表里两栏数字显示，压强加倍，空气的体积就减半。写成今天的式子是 pV = 常数，这就是玻意耳定律。有意思的是，玻意耳本人并没有用文字把它写成一条定律，要比较表里的两栏数字才看得出来。他还说明，是同行汤利（Richard Towneley）先提出了压强与体积的这种关系⁷。1676 年，法国的马略特独立发表了同样的结果，并补充说温度必须保持不变，所以法国人至今叫它马略特定律⁷。

托里拆利和帕斯卡证明了空气有重量，玻意耳又证明了它有弹性。空气是一种可以被称量、被压缩的物质，这个观念从此站稳了。

1738 — 1845流动起来：伯努利、欧拉、纳维和斯托克斯

前面讲的都是不动的流体。可是河水在流，血液在流，风在吹。流动的水是什么规律？它对管壁的压力还是 ρgh 吗？接下来一百年，回答这些问题的主要是数学家。

1738丹尼尔·伯努利：流得快，压得轻

丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）生于 1700 年，父亲约翰·伯努利也是有名的数学家^8,26。他做过血液流动和血压的医学研究，这是他研究流体的动机之一⁸。1727—1733 年在圣彼得堡期间，他写成《流体动力学》（Hydrodynamica），1738 年在斯特拉斯堡出版^8,26。书名是他自己起的，意思是把讲静止液体的“流体静力学”和讲水流的“水力学”合成一门学问²⁶。

他用的工具是“活力守恒”，也就是第 5 章讲过的那场“活力”之争里莱布尼茨一方的原理，今天看就是能量守恒的前身^8,26。他把管子里的水想成一片一片的薄层，跟踪每一层的速度和高度，算出了水从容器小孔里流出的速度⁸。

他发现，水流动的时候，对管壁的压力比静止时小，流得越快，压得越轻。这个结论很出人意料。他用两个办法演示：在一根水平流水管上接一根竖直的细管，或者在管壁上开个小孔让水往上喷，水能升到的高度都低于水箱里的水面²⁶。

书里还有一章用气体粒子的碰撞来解释空气的压强，这是气体动理论的雏形⁸，第 11 章再讲。书出版后，他的父亲约翰·伯努利出了一本《水力学》，大量取材于儿子的工作，却把出版日期标得比儿子的书还早，想抢优先权^8,26。这本书实际是哪一年出的，两份来源说法不同，一说 1739 年，一说 1742 年^8,26。

今天说的伯努利方程，是把这个结论写成了一个简洁的式子：

p + ½ ρ v² = 常数

p: 流体在某一点的压强（帕斯卡）
ρ: 流体的密度
v: 流体在这一点的速度（米/秒）
½ρv²: 单位体积流体的动能。前提是沿着同一条流线、高度不变、摩擦可以忽略

读法：沿着一条流线，速度变大的地方，压强就变小，两者此消彼长。水龙头开大，出水口附近压强下降；风吹过屋顶，屋顶上方压强变低，大风能把屋顶掀起来。

不过，伯努利本人并没有写出这个式子。他用的变量是管子截面的比值，不是速度；他讨论的也只是水对管壁的压力，没有讨论流体内部的压强²⁶。把它写成沿流线成立的一般规律，是后来欧拉的工作²⁶。

1752 — 1757欧拉：把牛顿第二定律用到每一滴水上

欧拉（Leonhard Euler）是伯努利的朋友，第 5 章已经出场过。1750 年前后，他在一篇研究河流的论文里，第一次推出了在任意定常流动中沿流线成立的伯努利定律²⁶。

他更大的贡献是提出，流体内部的每一点都有一个压强，压强从一处到另一处的变化，就是推动那一小团流体的力。有了这个“压强场”，就可以把牛顿第二定律（力等于质量乘加速度）用到无穷小的一团流体上²⁶。1752 年 8 月 31 日，他在柏林宣读了第一篇这样的论文；1755 年 9 月 4 日又宣读了《流体运动的一般原理》，1757 年刊出^26,9。今天的欧拉方程就出自这篇论文。

欧拉方程把整个流体的运动归结为几个方程，原则上只要知道开始时的状态，就能算出以后的一切⁹。法国数学家拉普拉斯常说：读欧拉吧，他是我们所有人的老师²⁶。

但欧拉方程描述的是一种理想流体，它没有内摩擦。真实的水和空气都有一点“黏”，蜂蜜就更黏了。法国的达朗贝尔想用这类方程算出物体在流体里受到多大的阻力，没有算成²⁶。阻力问题，恰恰是造船和后来造飞机最关心的问题。

1821 — 1845纳维和斯托克斯：加上摩擦

法国工程师纳维（Claude-Louis Navier）在欧拉方程里加上了流体分子之间的作用力。1821 年他写出不可压缩流体的方程，1822 年写出黏性流体的方程¹⁰。纳维还是悬索桥理论的开创者，可他在塞纳河上主持建造的一座悬索桥出了问题，被市议会下令拆除¹⁰。

1845 年，英国剑桥的斯托克斯（George Gabriel Stokes）发表《论运动流体的内摩擦理论》。他发现纳维、泊松和圣维南已经得到了类似的方程，但因为自己的出发点不同，还是发表了¹¹。这组方程后来就叫纳维—斯托克斯方程。今天的天气预报、飞机设计、血管里的血流模拟，算的基本都是它。

这组方程写下来快两百年了，数学家还是没能证明，它在三维空间里的解是不是总存在、总是光滑的。2000 年，美国克雷数学研究所把它列为七个“千禧年难题”之一，悬赏 100 万美元²⁷。研究所的说明里说，这组方程 19 世纪就写出来了，人们对它的理解却仍然很少²⁷。

1883雷诺：水流是直的还是曲折的

有了纳维—斯托克斯方程，工程师照样算不出水管里的阻力。麻烦出在一种现象上。同一根管子，水流慢的时候平平稳稳，一层层滑过去，叫层流；流快了，会突然变得翻滚混乱，叫湍流。湍流的阻力大得多。什么时候会变？

雷诺（Osborne Reynolds）1842 年生于贝尔法斯特，1868 年起在曼彻斯特的欧文斯学院（后来的曼彻斯特大学）当工程学教授，一当就是 37 年²⁸。1883 年，他在英国皇家学会的《哲学汇刊》上发表了一篇论文，题目很长，意思是“决定水流是直的还是曲折的条件，以及平行管道中阻力规律的实验研究”¹²。

线描插图：一个男子站在高台上，身旁是一个长方形玻璃水箱，水箱里横着一根带喇叭口的玻璃管，左上方有一个装染料的烧瓶，右边有一根竖管通到地面 — **雷诺 1883 年论文中的装置图**。看**水箱里**那根横放的玻璃管，左端是喇叭形的进水口。**左上角**的烧瓶装着染色的水，通过细管把一丝染料送到喇叭口中央。水从管子右端流出，沿竖管下到地面，出口的阀门用长杆在高台上控制¹²。Osborne Reynolds，1883，公有领域 · Wikimedia Commons

装置的关键是那一丝染料。水箱里的水从喇叭口流进玻璃管，染料顺着管子中央流下去，就成了一根“示踪线”。管子有 1 英寸、半英寸和四分之一英寸三种粗细，水位读数精确到百分之一英寸，用来算流速¹²。

流速低的时候，染色线笔直地贯穿整根管子，像画在玻璃里一样。流速加大到某个值，染色线会在某处突然破碎，染料一下子散满整个管子的截面²⁹。雷诺还发现，在临界速度附近，层流和湍流会一段一段交替出现¹²，今天叫“间歇性”。

雷诺最重要的发现，是什么时候变不单看流速。管子越粗、流速越快，越容易乱；水越黏，越不容易乱。几样东西要合成一个数来看：

Re = ρ v D ÷ μ

Re: 雷诺数，一个没有单位的纯数
ρ: 流体的密度（千克/立方米）
v: 流速（米/秒）
D: 管子的直径（米）
μ: 黏度，流体有多“黏”。蜂蜜比水黏几千倍

读法：分子里是让流体往前冲的惯性，分母里是让它保持规矩的黏性。Re 小，黏性占上风，是层流；Re 大，惯性占上风，容易变成湍流。圆管里的分界线在 2000 左右。

μ 和 ρ 常合在一起写成 μ/ρ，叫运动黏度。室温的水约 0.000 001 平方米/秒，甘油大约是水的一千倍。下面的演示就用它来算。

临界值是多少，雷诺自己也很小心。他让水箱里的水静置很久、把扰动减到最小，湍流要到 Re 约 13 000 才出现；有扰动时，约 2000 就出现了²⁹。他又测量管中压力的损失，发现低于 2020 时阻力和流速成正比，超过之后阻力增长得快得多¹²。1895 年，他给出转变的临界值在 1900 到 2000 之间¹²。范·戴克的《流体运动图集》登过雷诺原装置的照片，配了一句玩笑话：曼彻斯特街上的现代交通，让临界雷诺数比雷诺测出的 13 000 低了不少¹²。这台装置至今还保存在曼彻斯特大学²⁸。

“雷诺数”这个名字是德国物理学家索末菲 1908 年在罗马的国际数学家大会上起的¹²。至于圆管里的湍流从哪个确切的数开始能够持续下去，直到 2011 年才由德国马普学会等机构的团队用大量实验和计算测定，约为 2040^29,30。

雷诺的染色线演示 2 · 改流速、管径和液体

流速 4.0 厘米/秒水箱静置很久

试着用 1 英寸的管子、温水，把流速从 4 厘米/秒慢慢往上调：过了约 7.5 厘米/秒，染色线开始一段一段地破碎。换成半英寸的管子，要快一倍才会乱。雷诺当年也比较过 5 °C 和 22 °C 的水¹²，冷水更黏，要流得更快才会乱。

雷诺数的用处远不止水管。它说明，两个大小不同的流动，只要雷诺数相同，流动的样子就相同。一个缩小 20 倍的飞机模型放在风洞里吹，要想得到和真飞机一样的结果，就得设法让雷诺数对上。这条原理后来决定了风洞该怎样造。

1799 — 1903从凯利的银圆到基蒂霍克

一百多年里，流体力学和想上天的人几乎各走各的路。数学家的方程算不出机翼上的力，造飞机的人只能自己去量。

1799 — 1853凯利：把飞机拆成三件事

英国的凯利爵士（George Cayley）在 1799 年做了一枚小小的银圆片。一面刻着一架飞机：固定的机翼，船形的机身，带操纵面的十字形尾翼，还有作为螺旋桨前身的旋转桨叶；另一面画着机翼在飞行中受到的力³¹。这个设计把三件事分开了：固定的机翼负责升力，桨叶负责推进，尾翼负责操纵³¹。

1804 年，他用一根旋转的长臂带着翼面兜圈子，测量空气的作用力，发现带弯度的机翼能让固定翼飞行成为可能；同年造出一架约 5 英尺长的模型滑翔机³¹。1809—1810 年，他在《尼科尔森杂志》上发表《论空中航行》，为空气动力学研究打下了基础，可当时没多少人注意³¹。

晚年他造了可以载人的滑翔机。1849 年，一个仆人十岁的儿子乘它离开了地面。1853 年，他的车夫乘一架三翼滑翔机飞越了英格兰北部的布朗普顿山谷，约 900 英尺（275 米），这是有记录的第一次成年人乘飞行器飞行^31,32。

1889 — 1896李林塔尔：两千次滑翔

德国的李林塔尔（Otto Lilienthal）长期研究鸟的翅膀。1889 年，他出版《鸟类飞行——航空的基础》，书里把不同弯度的翼面受到的空气作用力制成了表格，结论是弯曲的翼面比平板好得多³³。

从 1891 年到 1896 年，他造了 18 种滑翔机，飞了两千多次。滑翔距离从最初的 80 英尺，增加到后来的 1150 英尺³³。1894 年，他堆了一座人工小山，山顶有个盖着土的棚子，用来存放滑翔机³³。他吊在机翼下面，靠摆动身体、移动重心来应付滑翔机的晃动³³。

黑白照片：一个人吊在一架张开的单翼滑翔机下方，飞在一座圆锥形的小山前面，右下角站着一个旁观者 — **李林塔尔驾驶单翼滑翔机**，1895 年。看**机翼中间**：他双臂撑在机翼的框架上，下半身悬空，身体往哪边摆，重心就往哪边移。机翼像鸟翼一样有弯度。背景是他用来起飞的小山³³。Richard Neuhauss 摄，公有领域 · Wikimedia Commons

1896 年 8 月 9 日，他的滑翔机在空中失速坠落，第二天他因脊椎折断去世³³。他的著作被译成多种文字，他飞行时的照片传遍世界，让人们相信人确实可以跃入空中、停留在空中。美国一对开自行车店的兄弟，就从他那里得到了灵感和资料³³。

1901莱特兄弟：自己造一座风洞

威尔伯和奥维尔·莱特（Wilbur and Orville Wright）从 1899 年开始研究飞行¹³。1901 年，他们试飞了一架翼展 22 英尺、翼面积 315 平方英尺的滑翔机，这是当时人类飞过的最大的滑翔机。可它产生的升力远比计算的少³⁴。据奥维尔后来回忆，威尔伯当时说，一千年内人都飞不起来³⁴。

他们的计算用的是那个时代的升力公式：升力等于一个系数 k，乘速度的平方，乘翼面积，再乘一个和翼形、角度有关的升力系数。k 叫斯米顿系数，被沿用了将近 150 年，李林塔尔也用它，取值 0.005^34,35。算出来不对，要么是李林塔尔的表格错了，要么是这个系数错了。

那年秋天，他们在自行车店里造了一座风洞：一个 6 英尺长、截面 16 英寸见方的木箱，一头装风扇，用皮带从车间的天轴带动，风速每小时 25 到 35 英里，箱顶开一扇玻璃窗用来观察^36,37。箱里的天平是用断钢锯条、自行车辐条和废金属拼出来的，一台测升力，一台测升力和阻力的比值³⁷。模型翼用薄钢片剪好，再锤、锉、焊成各种弯度³⁶。

10 月底到 11 月初，他们先粗测了约 200 种翼形；从 11 月 22 日起正式测试 38 种翼型，每一种测 45 个角度，到 12 月中旬做完³⁴。结果出乎他们意料，李林塔尔的表格对他自己那种翼形大体是对的，错的是斯米顿系数³⁴。他们测出的值约 0.0033，现代测定的值是 0.00326³⁵。一个用了一个半世纪的数，被两个自行车商用一只木箱改正了。

1903基蒂霍克的十二秒

有了自己的数据，他们设计了 1902 年的滑翔机和 1903 年的动力飞机³⁶。机翼两侧可以扭转，左右两边的升力因此不同，飞行员就能控制飞机的横向倾斜¹³。他们在自行车店机械师查理·泰勒的帮助下，自己造了一台 12 马力的汽油机。两副螺旋桨装在机翼后面，兄弟俩把螺旋桨看作“旋转的机翼”，用风洞里得到的翼型知识来设计它¹³。

1903 年 12 月 17 日，在北卡罗来纳州基蒂霍克附近，奥维尔驾驶飞机飞了 12 秒，距离 120 英尺（36 米）。这天一共飞了四次，第二、三次都在 200 英尺左右；第四次由威尔伯驾驶，飞了 59 秒、852 英尺（约 256 米）。大家正在议论这次长距离飞行时，一阵风把停在地上的飞机掀翻，滚过了沙地¹³。

黑白照片：一架白色双翼飞机离地几英尺，飞过平坦的沙地，右边一个穿深色衣服的人站着看，前景有一张小木凳和地上的木轨 — **第一次动力飞行**，1903 年 12 月 17 日上午，约翰·T·丹尼尔斯摄。看**机翼中间**：奥维尔趴在下翼上驾驶。右边站着的是刚刚松开右翼的威尔伯。地上那条长木条是起飞用的滑轨，飞机在 12 秒里飞了 120 英尺¹³。John T. Daniels，公有领域 · 美国国会图书馆藏，经 Wikimedia Commons

这架飞机 1928 年曾借给伦敦的科学博物馆展出，1948 年回到美国，在首飞 45 周年那天正式捐给史密森学会¹³，现藏美国国家航空航天博物馆。

影响它怎么改变了世界

这一章的知识分成了几条路走进日常生活：压强变成了机器，气压计变成了天气预报，水银柱变成了医生的单位，风洞变成了航空业的地基。

一 · 液压：用一桶油推动重物

帕斯卡说一桶水能把力放大到任何程度，一百多年后才有人把它造成了机器。英国发明家布拉马（Joseph Bramah）1795 年取得水压机的专利，这被认为是他最重要的发明，原理正是帕斯卡定律³⁸。他的作坊还培养出莫兹利、惠特沃斯等一批精密机械的开拓者³⁸。

英国纽卡斯尔的律师阿姆斯特朗（William Armstrong）在本城码头上装了世界上第一台水力起重机，1847 年开办埃尔斯维克工厂，生产液压机械、起重机和桥梁，后来又造大炮³⁹。他设计的液压蓄能塔能储存高压水，格里姆斯比码头至今还立着一座约 300 英尺高的³⁹。伦敦塔桥 1894 年启用，两扇桥面靠阿姆斯特朗公司造的锅炉、蒸汽泵和蓄能器开合，八十多年里开启了四十多万次，直到 1976 年才换掉⁴⁰。

液体传递压力，也传到了汽车上。1921 年的杜森伯格 A 型车，是第一款装四轮液压刹车的量产汽车⁴¹。脚踩下踏板，压强经过刹车油原样传到四个车轮，大小不同的油缸把脚上的力放大⁴¹。今天的汽车刹车、挖掘机的长臂、飞机的起落架和舵面，靠的都是帕斯卡那个“装满水的容器”。

二 · 气压计：从托里拆利管到天气预报

托里拆利已经注意到水银柱随天气起伏¹⁷。两百年后，这件事变成了一个国家机构的日常工作。1854 年，英国成立气象局，由海军军官菲茨罗伊（Robert FitzRoy）领导。沿海各站每天上午 9 点观测气压、温度、风向风力、云量和天气，用当时最新的电报发到伦敦⁴²。

1859 年 10 月 25 日夜里，一场风暴横扫爱尔兰海，约 800 人丧生，133 艘船沉毁，其中包括蒸汽帆船“皇家宪章号”⁴³。菲茨罗伊分析后认为，这场风暴本来可以追踪到。1861 年 2 月，他开办了全国风暴警报服务；同年 8 月 1 日，《泰晤士报》登出了第一份公开的天气预报^42,43。当时科学界不少人怀疑天气能否预报，菲茨罗伊承受着很大压力，1865 年自杀身亡。公开预报一度停止，1879 年因为公众要求又恢复了⁴²。

今天天气图上的“高压”“低压”，单位是百帕。海平面的标准大气压 101 325 帕，就是 1013.25 百帕¹⁹。

三 · 毫米汞柱：医生手里的托里拆利管

量血压时，医生说“120/80”，单位是毫米汞柱，也就是托里拆利管里水银柱的高度。最早量血压的是英国牧师黑尔斯（Stephen Hales）。他在一匹马的动脉上接了一根竖直的长玻璃管，血液在管里升到心脏以上 8 英尺 3 英寸，约 2.5 米。这是有记录的第一次血压测量⁴⁴。

直接插管当然没法用在病人身上。1896 年，意大利医生里瓦—罗奇（Scipione Riva-Rocci）发明了绑在上臂、可以充气的袖带。袖带充气后压住上臂的动脉，不用再切开血管⁴⁴。早期的袖带血压计用水银压力计读数，毫米汞柱这个单位就是这样留下来的。丹尼尔·伯努利当年研究流体，动机之一就是想弄懂血流和血压⁸。

四 · 风洞：从自行车店到每年 47 亿人次

莱特兄弟的风洞原件已经不在了，1930 年代奥维尔亲自监督复制了一台，今天陈列在费城的富兰克林研究所³⁷。风洞从此成了造飞机的标准工具。美国 1915 年成立国家航空咨询委员会（NACA），也就是后来 NASA 的前身⁴⁵。

NACA 很快碰上了雷诺数的问题。缩小的模型在普通风洞里吹，雷诺数比真飞机小得多，测出的数据不准。曾在德国格丁根工作的蒙克（Max Munk）出了个主意，把整个风洞装进一个大钢罐里，加压到 20 个大气压。空气密度变成 20 倍，1/20 的模型就有了和真飞机相同的雷诺数⁴⁶。这座“变密度风洞”1920 年代初投入使用，是世界上第一座加压风洞，让 NACA 成了一流的研究机构^45,46。

从 1903 年那 12 秒算起，一百多年后，2024 年全球定期航班共运送旅客 47 亿人次，起飞 3740 万架次⁴⁷。今天设计机翼，风洞试验和求解纳维—斯托克斯方程的计算机模拟，仍是两件基本工具。

误解机翼、方程和马

误解一 · 机翼上表面路程长，空气要和下面的空气“同时”到达后缘，所以跑得快

这是流传最广的升力解释，课本和百科里都出现过。美国航天局格伦研究中心专门列出了它的错处⁴⁸。第一，没有任何理由要求上下两团空气同时到达。实际上，走上表面的空气比走下表面的先到后缘，原本挨在一起的两团空气，到了后缘并不会重新会合。第二，对称翼型上下一样长，纸飞机的机翼是一块平板，它们照样能产生升力；有些低阻翼型的下表面反而更长。第三，按“等时”算出的上表面流速，比实际慢得多，算出的升力太小。第四，它解释不了飞机为什么能倒着飞⁴⁸。

正确的说法是，机翼以一定角度迎着气流，把流过它的空气往下偏转。上表面的气流确实更快，按伯努利方程，那里的压强更低，上下的压强差就是升力⁴⁸。伯努利方程没有错，错的是“等时”这个前提。

误解二 · 伯努利方程是伯努利写出来的

丹尼尔·伯努利在 1738 年确实发现了“流得快、压得轻”，但他用的变量是管子截面的比值，讨论的只是管壁上的压力²⁶。第一次在一般的流动中推出沿流线成立的伯努利定律的，是欧拉²⁶。科学里用人名命名的定律，常常只是说明谁最早抓住了它的要点。

误解三 · 马德堡半球实验是 1654 年在雷根斯堡，用 16 匹马

这是最常见的版本，可来源之间说法并不一致。《今日物理》只说格里克 1654 年在雷根斯堡的帝国议会上做过演示⁶；伽利略博物馆写的是 1657 年在马格德堡，两队各 8 匹马⁵；琳达·霍尔图书馆只说 1650 年代初，每边 8 匹²⁴。格里克 1672 年书里的版画画的是每边 8 匹马。可以确定的是，他做过不止一次演示，至于马在哪一次、拉了几匹，记载各不相同。

承上启下从可以算准，到算不准

上一章讲到，欧拉、拉格朗日、哈密顿把牛顿力学改写成分析力学，勒威耶靠计算天体摄动找到了海王星。这一章是同一套力学搬进了水和空气。伯努利用的是“活力守恒”，欧拉把牛顿第二定律用到每一小团流体上，纳维和斯托克斯又加上了摩擦。方程写出来了，原则上，流体的未来和行星的未来一样，可以从现在推算出来。

雷诺的染色线却给这种信心打了一个问号。同一根管子，同样的流速，水箱静置与否，结果就可能完全不同；湍流里那些翻滚的漩涡，细节几乎没法预测。今天的天气预报算的就是空气的流体方程，可是预报只能看几天，再往后就不准了。下一章讲混沌。方程完全确定，结果却可能无法预测，这样的系统从天体到天气都有。

这一章还和热学那条线交汇。玻意耳定律说明气体可以被压缩，伯努利在《流体动力学》里用粒子碰撞解释气体压强。第二单元会接着问：气体的温度和压强，到底是什么在动？到第 11 章，伯努利的这个想法会在气体动理论里重新出现。

自测五个问题

1. 为什么吸水泵最多只能把水吸上十米左右，而托里拆利的水银柱只有 76 厘米？

泵只是把管子里的空气抽走，把水推上去的是外面的大气压。大气压能托起的液柱高度和液体的密度成反比（p = ρgh）。海平面的大气压约 101 325 帕，能托起约 10.3 米的水；水银的密度约是水的 13.6 倍，所以只能托起约 0.76 米。

2. 佩里埃为什么要准备两根管子，一根留在山下？

为了排除“这一天天气变了”之类的其他原因。山下那根一整天读数不变，山上那根变矮了约 3 法寸，说明变化只来自海拔。这和海什木遮灯的做法一样，只改变一个条件，看结果跟着变不变。

3. 一台液压千斤顶，小活塞面积 2 平方厘米，大活塞面积 200 平方厘米。手在小活塞上施加 100 牛的力，大活塞能顶起多大的力？代价是什么？

按帕斯卡定律，两边压强相等，F₂ = F₁ × A₂ / A₁ = 100 × 100 = 10 000 牛，约能顶起一吨重的东西。代价是距离：小活塞要推下 100 厘米，大活塞才升起 1 厘米。

4. 为什么说“上下两团空气同时到达后缘”的升力解释是错的？正确的说法是什么？

没有物理原因要求它们同时到达，实测中上表面的空气先到；对称翼型和平板纸飞机也能产生升力；按等时算出的流速和升力都太小；也解释不了倒飞。正确的说法是机翼把气流往下偏转，上表面流速更快、压强更低，上下压强差产生升力。

5. 用 1 英寸（约 2.54 厘米）的管子输送室温的水（μ/ρ 约 0.000 001 平方米/秒），流速 20 厘米/秒，雷诺数大约是多少？是层流还是湍流？

Re = v × D ÷ (μ/ρ) = 0.2 × 0.0254 ÷ 0.000 001 ≈ 5100，远超 2000，在一般有扰动的情况下是湍流。雷诺把水箱静置很久、把扰动降到最低时，Re 到约 13 000 才出现湍流，所以在那种条件下它仍可能保持层流。

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图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。