守恒定律与海王星
牛顿给出了运动定律，却没说清碰撞前后什么不变，也没教人怎样算三颗以上互相拉扯的星球。18 世纪的人补上了这两课，最后用纸和笔找到了一颗谁也没见过的行星。
时代速写柏林，1846 年 9 月 23 日夜
1846 年 9 月 23 日上午，柏林天文台的助理天文学家伽勒（Johann Gottfried Galle）收到一封巴黎来的信。写信的人是法国天文学家勒威耶（Urbain Le Verrier），信里请他把望远镜对准天上一个具体的位置，说那里有一颗还没人见过的行星1。
勒威耶从没见过这颗行星。他的依据是另一颗行星天王星走得不对劲，偏离星表的位置。他假定是一颗更远的未知行星在拉它，然后倒过来算：这颗行星得有多重、在哪儿，才拉得出这样的偏差。8 月 31 日，他在巴黎科学院公布了结果2。
当天晚上，伽勒和年轻的助手达雷斯特（Heinrich d'Arrest）先在那片天区找一个有圆面的亮点，没找到。达雷斯特提议查柏林科学院刚印出的新星图，他们在台长办公室翻到一张《第 21 时星图》，左下角正好盖住那片天。回到圆顶里，伽勒在望远镜前一颗颗报出星的位置，达雷斯特对着图核对。午夜过后，有一颗 8 等星在图上找不到1。据达雷斯特多年后的回忆，他当时喊的是“那颗星不在图上！”1第二天夜里他们再看，那颗星挪了位置。恒星不会动，它是行星1。
9 月 25 日，伽勒给勒威耶回信，第一句话是：您指出位置的那颗行星真的存在1,2。当时人说，勒威耶是用笔尖发现了这颗行星1。它后来被叫作海王星。
这支笔背后是一百多年的积累。牛顿 1687 年给出了运动定律和万有引力，可要拿它去算一颗被好几个天体同时拉扯的行星，还差两样东西：一是弄清运动中哪些量无论如何都不会变，二是一套不靠画图、能成批处理复杂系统的数学。本章讲的就是这两样东西怎样长出来。
- 1644笛卡尔在《哲学原理》里说，世界上“运动的量”的总和永远不变3。
- 1669惠更斯发表碰撞规则：某一方向上的动量碰前碰后相等4。
- 1686莱布尼茨发文说笛卡尔错了，守恒的是质量乘速度的平方，“活力”之争开始5。
- 1736欧拉出版《力学》，第一次系统地用微积分写牛顿力学6。
- 1743达朗贝尔在《动力学论》序言里说，这场争论只是字面之争7。
- 1744莫佩尔蒂和欧拉各自提出“最小作用量原理”8。
- 1772拉格朗日的三体问题论文获巴黎科学院奖，算出后来以他命名的平衡点9,10。
- 1781威廉·赫歇尔发现天王星1。
- 1788拉格朗日出版《分析力学》，全书没有一张图9。
- 1846勒威耶预言，伽勒和达雷斯特找到海王星1,2。
问题牛顿留下的两道题
第一道：运动里有什么是不变的
两个球迎面相撞，撞完各自弹开。撞之前和撞之后，有没有一个数是不变的？如果有，就不必细究碰撞那一瞬间球怎样挤压、怎样变形，直接拿这个数算账就行。
笛卡尔最早给出一个答案。他在 1644 年的《哲学原理》里写道：上帝创世时给了世界一定量的运动，这个总量从此不增不减。“运动的量”等于每个物体的大小乘以它的速率，再加起来3。问题在于他的速率不带方向，一个物体往左走还是往右走，算出来的量一样3。从这条原则出发，他推出了七条碰撞规则，其中第四条说，一个小物体不管跑得多快，都推不动一个静止的大物体3。任何打过台球的人都知道这不对。
1668 年，伦敦的皇家学会公开征求碰撞定律，荷兰的惠更斯、英国的沃利斯和雷恩分别交了答案。惠更斯证明：沿某个固定方向，碰撞前的动量和碰撞后的动量相等。往左的和往右的要分开算，一正一负。1669 年，他的结果在巴黎的《学者杂志》和伦敦的《哲学汇刊》上刊出，笛卡尔碰撞规则的错误就此暴露4。
可这还没完。1686 年，德国哲学家莱布尼茨又提出，笛卡尔守错了量。下一节讲这场争论。
第二道：三个以上的天体怎么算
万有引力说，每个物体都拉着其他每个物体。太阳拉行星，行星之间也互相拉。只有两个天体时，牛顿能严格算出轨道是椭圆。第三个天体一加进来，问题就难得多。木星会拉偏土星，太阳和地球同时拉着月亮，这些微小的偏离叫作摄动。
摄动算不准，连万有引力本身都会被怀疑。1747 年前后，法国数学家克莱罗算月球轨道，结果与观测对不上，他一度以为平方反比定律要加一个修正项。直到 1749 年 5 月 17 日，他才公开承认，毛病出在自己的近似计算上，定律本身没错11。
工具也是个问题。牛顿的《原理》大多用几何作图来论证8，处理一颗行星绕太阳还行，要同时追踪好几个天体在几十年里的相互拉扯，画图就画不过来了。
1686 — 1743“活力”之争
1686莱布尼茨的算术
莱布尼茨的论证用的是伽利略的落体规律。设想两件事：把 1 份重的东西举到 4 份高，和把 4 份重的东西举到 1 份高。两件事要花的力气一样，所以两个物体落下来时，各自带的“力”也应该一样5。
按伽利略的规律，落下的高度和速度的平方成正比。从 4 份高处落下的那个，落地速度是从 1 份高处落下的那个的 2 倍。现在按笛卡尔的办法算：轻的是 1 × 2 = 2，重的是 4 × 1 = 4，不相等。换成质量乘速度的平方：轻的是 1 × 2² = 4，重的是 4 × 1² = 4，正好相等5。莱布尼茨的结论是，自然界守恒的是这个 mv²，他后来把它叫作 vis viva，意思是“活力”5。
这篇短文登在莱比锡的《学者学报》上，标题直截了当：《简要证明笛卡尔等人关于一条自然定律的显著错误》5。此后半个多世纪，欧洲学者为“力”到底该用 mv 还是 mv² 来量争论不休，这就是“活力之争”5。
1722落进黏土的铜球
荷兰莱顿大学的数学与天文学教授 's Gravesande 写过一部流行的牛顿派物理教科书，在英国和德国都很有影响12。1722 年，他发表了一篇《一种基于实验的新碰撞理论》，结论却站到了莱布尼茨一边：物体的力与质量乘速度的平方成正比12。
他的实验很简单。把黄铜球从不同高度落进一盒软黏土，比较砸出的坑。坑一样深，就认为两个球带的“力”一样13。球的重量和下落高度都可以换，下落高度对应的是速度的平方。他据此认为，决定坑深的是 mv²，不是 mv12,13。英国的塞缪尔·克拉克撰文攻击了他的观点12。
1740夏特莱侯爵夫人
把这场争论带进法国公众视野的，是夏特莱侯爵夫人（Émilie du Châtelet，1706—1749）。她和伏尔泰在法国东北部的西雷庄园一起读书、做实验14。1740 年，她出版了《物理学原理》，想把笛卡尔、牛顿、莱布尼茨的思想融在一起；在活力问题上，她明确支持莱布尼茨，结果和梅朗打了一场笔仗15,14。
她最持久的贡献是把牛顿的《原理》译成法文。她 1745 年动笔，1749 年译完后不久去世，年仅 42 岁。译本 1756 年出了一部分，1759 年出全本，很长时间里是唯一的法文全译本15,14。
1743达朗贝尔：两边都对
同一年代，巴黎的达朗贝尔在《动力学论》的长篇序言里换了个角度看这件事。一个物体被一股阻力减速，速度的减少和经过的时间成正比，所以可以用 mv 来量它的“力”。如果问的是这个物体要冲破多少层障碍才停下来，那就和经过的距离有关，量出来是速度的平方。两种算法都对，各有人用得很成功。至于该把哪一个叫作“力”，只是字面之争7。
后人常说达朗贝尔这一笔“解决”了活力之争。《科学传记辞典》的作者提醒，这个说法只有一部分是对的7。争论在他之后又持续了很久，它最后是被并进能量守恒的讨论里才平息的5：19 世纪的人弄明白，碰撞中“消失”的活力并没有消失，它变成了热。那是第 10 章的故事。1829 年，法国工程师科里奥利在讨论机器效率时，引入了今天意义上的“功”和“动能”16。
概念两本账：动量和动能
今天回头看，双方都抓住了一个真的守恒量，只是各自守恒的条件不同。物理学家今天记两本账：
- m₁, m₂
- 两个物体的质量（千克）
- v₁, v₂
- 碰撞前的速度（米/秒），向右为正、向左为负
- v₁′, v₂′
- 碰撞后的速度。右上角的撇号表示“之后”
- m v
- 动量，单位是千克·米/秒
- Ek
- 动能，单位是焦耳
- m
- 质量（千克）
- v2
- 速度的平方。速度翻倍，动能变成 4 倍；方向不影响结果
为什么一个量和时间挂钩，一个和距离挂钩？这正是达朗贝尔看到的那一层7。力推一个物体一段时间，改变的是它的动量；力推一个物体走一段距离，改变的是它的动能。碰撞时，两个物体互相推的时间完全一样长，力又大小相等、方向相反，所以一方得到的动量正好是另一方失去的，总动量不变。可两个物体在碰撞中走过的距离不一定一样，如果有一部分推挤变成了变形和发热，动能的账就对不上了。
下面的演示让两辆小车在没有摩擦的轨道上相撞。左边的 A 车往右开，右边的 B 车可以静止、往右或往左。下方三行分别记三笔账：带方向的动量、笛卡尔不带方向的“运动的量”、莱布尼茨的活力。
默认设置是 1 千克的 A 车以 2 米/秒撞向静止的 3 千克 B 车。弹性碰撞时，A 车以 1 米/秒弹回，B 车以 1 米/秒前进。动量：碰前 2，碰后 −1 + 3 = 2，守恒。活力：碰前 4，碰后 1 + 3 = 4，也守恒。笛卡尔的量：碰前 2，碰后 1 + 3 = 4，凭空多出一倍。这就是惠更斯看到的问题。再切到“粘住”，两车以 0.5 米/秒一起走，动量还是 2，活力却只剩 1。莱布尼茨的量守恒，是有条件的。
碰撞那一瞬间，两车之间的力大得惊人、变化极快，几乎没法测。守恒定律让人绕过这段细节，只看碰前和碰后就能算出结果。后面你会看到，罗宾斯测子弹速度、旅行者号借行星引力加速，用的都是这个思路。
1736 — 1835不画图的力学
活力之争吵得最热闹的时候，另一群人在把力学从几何作图里搬出来，改写成可以成批计算的方程。这件事的影响要大得多。
1736欧拉
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）生于瑞士巴塞尔，一生在圣彼得堡和柏林两座科学院之间度过：1727 年去圣彼得堡，1741 年转到柏林，1766 年又回到圣彼得堡。晚年他几乎全盲，靠儿子和助手记录，仍然写出了一生著作的近一半6。
1736 年，欧拉出版《力学》，第一次以微积分为主要工具系统地表述牛顿动力学6。今天课本里的 F = ma，牛顿本人从没写成这样一个方程；把第二定律写成今天这种微分方程形式的，是 18 世纪 50 年代以后的欧拉17。
1744 年，欧拉出版《寻求具有极大或极小性质的曲线的方法》，后人把它看作变分法这门数学的奠基之作8。书后附了一篇《论弹性曲线》，研究弹性杆怎样弯曲，第一次算出一根两端铰接的细长直杆受压时，在多大的力下会突然侧弯失稳18。后面“改变世界”一节会回到这根杆。
1744最小作用量：一场带着神学味道的争吵
同一年，法国学者莫佩尔蒂在巴黎科学院宣读论文，两年后又在柏林科学院宣读，提出了“最小作用量原理”。他的意思是，自然在产生效果时总用最简单的手段，有一个他称为“作用量”的东西总是取最小值8。莫佩尔蒂对作用量的定义说得很含糊，还想用它证明上帝存在：这样简单而美的定律，也许就是造物主为世界定下的唯一规则8,19。
欧拉在 1744 年那本书里陈述了同一个原理，没有神学色彩，数学上也清楚得多。费格森在一篇变分法史综述里认为，第一个真正抓住这条原理的很可能是欧拉8。
1751 年，学者柯尼希发表文章，引用一封据称是莱布尼茨 1707 年写的信，暗示莫佩尔蒂的原理别人早就说过。时任柏林科学院院长的莫佩尔蒂让科学院宣布这封信是伪造的，柯尼希辞职。欧拉站在莫佩尔蒂一边。伏尔泰则写文章挖苦莫佩尔蒂19。
1788拉格朗日：全书没有一张图
1755 年，都灵一个 19 岁的青年给欧拉写信，提出一种不用几何图形、纯靠代数运算的方法来处理这类极值问题。欧拉看后立刻放弃了自己原来的几何方法，改用这个年轻人的办法，并给这门学问起名“变分法”8。这个青年就是拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736—1813）。同一年，他被任命为都灵皇家炮兵学校的数学教授9。1766 年，他接替欧拉，主持柏林科学院的数学部，一待二十年；1787 年迁居巴黎9。
1788 年，拉格朗日出版《分析力学》，把牛顿以来的力学整个重写了一遍。序言里有一句很有名的话：
On ne trouvera point de figures dans cet ouvrage.拉格朗日，《分析力学》序言，1788 年。意思是：这部书里找不到任何图9
他接着解释，书中的方法不需要作图，也不需要几何或力学上的推理，只需要按固定步骤进行的代数运算8。这样做的实际好处在于，面对一个复杂的系统，你不必先想清楚每个部件受哪些力、往哪个方向推，只要写出整个系统的动能和势能，按同一套步骤往下推，运动方程就自己出来了。一个零件和一百个零件，用的是同一个流程。对算行星的人来说，这意味着可以把成百上千个摄动项一项项排出来，交给耐心去算。后来勒威耶为全部行星重编星表时，光是摄动力的展开式就有 469 项2。
拉格朗日的方法背后，就是前面那条作用量原理：
- S
- 作用量，沿一条运动路径累加出来的一个数
- T
- 某一时刻的动能
- V
- 同一时刻的势能，比如重力势能
- Σ … Δt
- 把整段时间切成许多小段 Δt，每段算一次“动能减势能”，再全部加起来
注意“驻值”这个词。名字里虽然有“最小”，真实路径的作用量并不总是最小的，有时是一个类似马鞍形的点。物理学家今天更愿意叫它“稳定作用量原理”，“最小”只是历史留下的叫法20。
1834哈密顿，以及一百年后的回声
爱尔兰的哈密顿（William Rowan Hamilton，1805—1865）21 岁就当上了都柏林三一学院的天文学教授。他先研究光学，用一个“特征函数”统一描述光线的走法；1834 年和 1835 年，他发表《论动力学中的一种普遍方法》，把同样的思路搬到力学里21。
哈密顿发现，光线在介质里的走法和粒子在力场里的运动，在数学上可以一一对应。将近一百年后，1926 年，薛定谔正是顺着这个类比建立了波动力学：波动力学之于粒子力学，就像波动光学之于几何光学22。第 34 章讲量子力学时，你会再见到哈密顿的名字。
1918诺特：守恒从哪里来
这一节最后跳到 20 世纪，因为它回答了本章开头的问题：为什么会有守恒量？
德国数学家埃米·诺特（Emmy Noether，1882—1935）1915 年被希尔伯特和克莱因请到哥廷根，协助解决广义相对论里的数学问题。那时女性在哥廷根还不能正式授课，1916—1917 年她的课只能挂在希尔伯特名下23。1918 年 7 月 26 日，克莱因在哥廷根科学会上替她宣读了论文《不变变分问题》24。论文把拉格朗日一脉的变分法和群论结合起来，证明了一条一般规律：系统有一种连续的对称性，就有一个对应的守恒量24。
具体说，物理规律今天和明天一样，对应能量守恒；在这里和在那里一样，对应动量守恒；朝哪个方向都一样，对应角动量守恒。笛卡尔把守恒归于上帝的不变，莱布尼茨归于原因与结果相等3,5，诺特给出的理由是对称。1933 年，她被纳粹政府解职，流亡美国23。
1747 — 1799摄动：给行星记细账
有了新数学，天文学家开始一项一项地算行星之间的互相拉扯。
1759克莱罗与哈雷彗星
第 4 章讲过哈雷预言彗星会在 1758 年前后回来。真正把木星、土星的拉扯算进去的是克莱罗。1758 年 11 月 14 日，他在巴黎科学院宣布：彗星将于 1759 年 4 月 15 日前后经过近日点。实际日期是 3 月 13 日，差了一个月左右11。在那个年代，这已经足够轰动，克莱罗因此名声大噪11。
1772拉格朗日的五个点
两个大天体加一个小天体，是三体问题里最容易下手的一种。1772 年，拉格朗日和欧拉分享了巴黎科学院关于三体问题的奖金9。拉格朗日在获奖论文里找到了五个特殊位置：小天体放在那里，太阳和行星的引力加起来正好够它跟着行星一起转，彼此的相对位置保持不变10。其中三个在两大天体的连线上，是不稳定的；另外两个和两大天体组成等边三角形，是稳定的10。它们今天叫拉格朗日点，记作 L1 到 L5。五个点里有两个，欧拉也找到过25。
1786拉普拉斯：太阳系会不会散架
行星既然互相拉扯，一代代拉下去，轨道会不会越拉越歪，最后有行星被甩出去？拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749—1827）从 1771 年起就研究行星之间的摄动26。1786 年，他证明行星轨道的偏心率和彼此之间的倾角会一直保持很小，偏了会自己调回来26。这些成果后来汇成五卷本《天体力学》，1799 年出版头两卷26。半个世纪后，年轻的勒威耶又把他的稳定性计算往前推了一大步2。
拉普拉斯也研究潮汐。他认识到，海面的涨落可以拆成许多周期不同的“分潮”，每个分潮对应月球和太阳运动中的一种节奏27。这个想法后来变成了一台机器，见“改变世界”一节。
到 19 世纪初，牛顿引力加上这套摄动理论，几乎能把所有已知行星的运动算到观测误差以内。只剩下一颗不听话的。
1781 — 1847天王星为什么不听话
1781一颗早就被看见过的行星
1781 年，威廉·赫歇尔在英国发现了天王星。其实在他之前，它已经被人看见过至少 17 次，最早的是 1690 年英国的弗兰斯蒂德，只是大家都把它当成了一颗恒星；法国的勒莫尼耶 21 年里记录过它 11 次1。这些“古”观测让天文学家一下子拿到了天王星大半个世纪的位置。海王星的命运也差不多：伽利略 1612 年 12 月 28 日和 1613 年 1 月 28 日观察木星时，在笔记里记下过它，同样把它当成了一颗恒星28。
麻烦也从这里开始。用发现之后的“新”观测定出轨道，就套不上“古”观测；反过来也一样。1821 年，巴黎天文台的布瓦尔编天王星表，干脆放弃了古观测，只贴合新观测2。布瓦尔本人认为古观测不够准1。可不到二十年，新观测也和他的表差出了约 2 角分，大约是满月直径的十五分之一2。
各种解释都有人提：一颗彗星撞过天王星，太空里有阻碍它的介质，它有一颗很大的卫星，或者万有引力在那么远的地方不再严格遵守平方反比。这些说法一个个被更多的数据排除了1。1838 年，英国皇家天文学家艾里又发现，天王星到太阳的距离也不对1。剩下的选项里，最有希望的一个，是外面还有一颗看不见的行星。
演示：在纸上重演这场偏差
下面这个演示用牛顿引力从 1690 年一步步算到 1850 年：天王星绕太阳转，同时被海王星拉着。为了看得清楚，模型做了简化：两颗行星的轨道都画成同一平面上的圆，海王星取今天测得的质量和距离，两者在 1822 年前后会合1，木星、土星的影响当作已经扣除。然后像布瓦尔那样，只用 1781—1820 年的“观测”给天王星配一条最合适的轨道，编成星表，再看真实位置和星表差多少。
默认设置下，曲线在 1781—1820 年几乎贴着零线，那是编表用的数据，当然对得上。1822 年两颗行星会合之后，海王星从前方转到了后方，开始把天王星往回拽，偏差越拉越大，到 1840 年前后达到 2 角分上下，和历史上观测到的量级相当2。再往左看，1690—1770 年的“古”观测也偏出一截，这就是布瓦尔怎么都套不上的那部分。
把海王星质量拖到 0，曲线变成一条平线。改成“全部观测”，起伏变小了，但怎么也压不平。勒威耶面对的正是这种局面。不管怎样修改天王星自己的轨道，都消不掉剩下的起伏，只能请一颗新行星来解释。现代分析还指出，天王星和海王星的公转周期接近 1 : 2，海王星的直接拉扯和天王星轨道本身的调整在 19 世纪初几乎相互抵消，所以当时看到的偏差只有 50 到 100 角秒；在伽利略的时代或今天，两者叠加，偏差会大得多1。
1845勒威耶：三篇论文
勒威耶 1811 年生于诺曼底，原本学的是化学，在盖-吕萨克手下研究过磷的化合物，后来转向天文。1839—1840 年，他给出了七颗行星轨道偏心率和倾角变化的精确界限2。1845 年，巴黎天文台台长阿拉戈把天王星问题交给了他2。
他先重新建立了一套精确的天王星理论，证明不管怎样调整木星和土星的质量，都解释不了天王星的偏差2。第一篇论文在 1845 年 11 月提交给科学院。1846 年 6 月 1 日的第二篇排除了其他各种解释，并证明那颗未知行星只能在天王星外面1。要同时求出未知行星的质量和距离，条件不够，他借用了当时流行的提丢斯—波得定则，先假设它离太阳约 38 个天文单位，再反推其余参数，预言它在 1847 年 1 月 1 日的日心经度约为 325°，误差可能达 10°1。8 月 31 日的第三篇修正了位置（换算到发现那天是日心经度 325°58′），还预言它在望远镜里会显出一个小圆面1,2。
9 月 18 日，他写信给柏林的伽勒。巴黎天文台自己只做了些敷衍的搜索1。伽勒收到信的那天，碰巧是柏林天文台台长恩克 55 岁生日，恩克没有亲自去，但当即批准伽勒使用望远镜1。找到的位置与勒威耶的预言相差不到 1°：《科学传记辞典》记为 52 角分，按另一份资料列出的经度计算约为 59 角分1,2。
1845亚当斯和剑桥：差一点
英国这边还有一条线。剑桥的年轻数学家亚当斯（John Couch Adams，1819—1892）1841 年 7 月 3 日就在备忘录里写下，要研究天王星的反常，看它是不是一颗未知行星造成的29。1845 年 9 月，他把算出的位置交给剑桥天文台台长查理斯；10 月，他两次到格林尼治求见皇家天文学家艾里，都没见着，留下了一张写着预言数据的便条29。艾里回信问他能不能解释天王星距离的异常，亚当斯没有回答1,29。半年多后，艾里拿同一个问题去问勒威耶，勒威耶马上答复，艾里大为折服1。
1846 年 7 月 29 日，在艾里的催促下，查理斯开始秘密搜索。8 月 4 日和 12 日，他两次记下了海王星的位置，却没有比对出来：核对两晚的记录时，他查到第 39 颗星就停了，海王星是 12 日记录里的第 49 颗1。亚当斯在搜索期间给出的几个位置彼此相差 20 多度，也把搜索带偏了1。
柏林的消息传到英国后，约翰·赫歇尔和艾里等人才公开说出亚当斯的预言，主张英国人也有一份功劳。两国报纸为此吵翻了天，命名也成了战场：伽勒提议“雅努斯”，查理斯和亚当斯提议“俄刻阿诺斯”，阿拉戈宣布要叫它“勒威耶”，最后通行的是勒威耶自己在法国报上提出的“海王星”1。几位当事人私下倒相处得不错2。1846 年 10 月 14 日，艾里在给勒威耶的私信里写道，毫无疑问，您被公认为这颗行星位置的真正预言者1。
还有一个人被冷落了几十年。恩克向《天文学通报》报告发现时，只字未提达雷斯特；直到 1870 年代后期，伽勒在自己的回忆文章里才把他的功劳讲清楚1。
影响它怎么改变了世界
这一章的东西大多是方程，但它们一路走进了炮兵阵地、桥梁设计、港口、太空。
要知道子弹出膛有多快，在 18 世纪并不容易。英国数学家罗宾斯（Benjamin Robins，1706—1751）想出一个办法：在枪口前吊一块大木块，子弹打进去，嵌在里面，木块被撞得摆起来，从摆起的幅度就能算出子弹的速度。1742 年，他把这台“弹道摆”和一系列实验写进了《炮术新原理》30。
这台仪器正好用上了本章的两本账。子弹嵌进木块，是完全非弹性碰撞，动能大部分变成了热，可动量一分不少，所以碰撞后木块的速度由动量算。木块摆起来的过程中，动能又全部变成了高度，所以摆起多高由能量算。两本账接力，就从摆幅倒推出了子弹速度。1745 年，欧拉把这本书译成德文，加上大量评注在柏林出版，它影响了英国和欧洲各国的军队30。
一根又细又长的柱子受压时，往往不是被压碎，而是在某个力上突然向旁边弯出去，整体失稳。欧拉 1744 年在《论弹性曲线》里第一次算出了这个临界力：它和材料的刚度、截面抗弯的能力成正比，和柱子长度的平方成反比18。柱子长一倍，能扛的力只剩四分之一。这项工作通常被看作结构稳定性理论的起点31。今天研究钢柱、铝柱屈曲的论文，仍然拿欧拉公式作为比较的基准18。设计受压的钢柱和杆件时，这是必须核算的一项。
拉普拉斯把潮汐拆成许多分潮27。1867 年前后，威廉·汤姆孙（后来的开尔文勋爵）发展出一套潮汐调和分析方法27，又设计了一台机器：每个分潮用一个曲柄和滑轮表示，齿轮让它们按各自的周期转动，一根绳子把所有滑轮的起落加在一起，末端的笔就在纸带上画出潮位曲线。1872 年造出的第一台能组合 10 个分潮，大约 4 小时画完一个港口一整年的潮汐32。美国从 1885 年起用这类机器编潮汐表，直到 1966 年才换成电子计算机27。
二战期间，英国利物浦附近比德斯顿天文台的杜森用两台这样的机器，为一个代号“Z 位置”的海滩计算潮汐。他不知道那里是诺曼底。他算出了 1944 年 4 月 1 日起四个月的逐时潮高；登陆在 6 月 6 日33。今天你在手机上查到的潮汐时刻，背后还是同一套分潮的思路。
拉格朗日 1772 年在纸上找到的五个点，一百多年后开始一个个“住上了人”。1906 年 2 月 22 日，德国天文学家马克斯·沃尔夫发现了一颗在木星前方约 60° 处同步绕太阳转的小行星，取名阿喀琉斯，这是第一颗“特洛伊小行星”，证实了拉格朗日的预言35。太阳系里的特洛伊小行星大多跟着木星10，NASA 的露西号 2021 年 10 月出发，要飞掠其中 7 颗35。
日地之间的 L1 点上，有一直盯着太阳的 SOHO 探测器；地球背后的 L2 点附近，先后驻扎过 WMAP、普朗克卫星，以及今天的韦布空间望远镜10。韦布离地球约 150 万公里，在 L2 附近绕一个约半年一圈的“晕轨道”，太阳、地球、月亮始终在它的同一侧，一面遮阳板就能把三者的光和热都挡住36。
从行星的角度看，一艘飞船从它身边掠过，进来多快，出去还是多快，就像一次完全弹性碰撞。可行星自己在绕太阳飞奔，换到太阳的角度看，飞船出去时就多带走了行星的一份速度。行星损失的那一点点，对它庞大的质量来说微不足道。
外行星大约每 175 年会排成一种特殊的队形，让一艘飞船借木星的引力甩向土星，再依次甩到天王星和海王星。1965 年春，在喷气推进实验室兼职的加州理工研究生弗兰德罗算出，下一次机会就在 1976—1979 年37。原计划的“大巡游”因经费被砍，缩成了两艘飞船的旅行者计划37。旅行者 2 号 1977 年 8 月 20 日发射，1989 年 8 月 25 日从距海王星约 5000 公里处飞过。靠引力助推，飞到海王星的时间从 30 年缩短到 12 年34。
误解运气、天才和“最省力”
这个说法当年就有人提。1847 年，美国天文学家沃克找到了拉朗德 1795 年 5 月 8 日和 10 日记下的一颗“恒星”，那其实是海王星。有了五十多年的跨度，他算出海王星的真实轨道：离太阳约 30 个天文单位，公转一周约 166 年。勒威耶预言的轨道却是约 36 个天文单位、217 年，质量也多估了一倍左右。哈佛的皮尔斯据此宣称，海王星不是数学分析指向的那颗行星，伽勒找到它是“幸运的意外”1。
后来的分析表明，事情没这么简单。海王星对天王星的拉扯只在两颗行星靠近会合时才显著，也就是 1822 年前后那几十年2。勒威耶要回答的问题是“此刻那颗星在哪里”，约翰·赫歇尔当时就这样替他辩护2。预言的轨道虽然整体偏大，但在发现前后恰好最靠近真实轨道，预言的距离约 33 个天文单位1。运气确实有一点，克拉伊诺维奇也说，一项发现需要深厚的知识、大胆的思考，再加一点运气1。但方向和位置是算出来的。
这是 19 世纪英国流传的版本。1990 年代末，格林尼治天文台失踪三十多年的海王星档案在一位已故天文学家的遗物中重新出现，历史学家据此重新检查了这段往事1。他们指出：亚当斯那张便条的日期写得含糊，笔迹也和正文不同；他后来给出的几个位置彼此相差 20 多度；他在 1846 年 11 月之前从未发表过任何计算；英国的“共同预言”之说，是在柏林的发现之后才提出的1。亚当斯确实独立做了大量工作，后来也成了出色的天文学家29。但他没有公开过预言，也没有影响到海王星被找到。真正催促搜索、并在事后为英国争功的，是艾里1。
承上启下从一支笔到一颗星
第 4 章里，牛顿把地上的苹果和天上的月亮放进了同一条引力定律。这一章看到，后人把那条定律变成了一台能算的机器。守恒定律让人跳过复杂的细节直接算账，欧拉和拉格朗日的分析力学让成百个天体、成百个零件都能用同一套步骤处理。碰撞、炮弹、柱子用的是这套数学，行星、彗星、潮汐用的也是它。地上的力学和天上的力学，在这里真正用上了同一套方程。
海王星是这台机器最漂亮的一次成功，也埋下了下一个故事的种子。勒威耶后来回到水星，1859 年发现它的近日点每世纪多转了约 38 角秒，用已知行星怎么都解释不了。他照搬海王星的经验，猜测水星里面还有一颗看不见的行星，却始终没人找到。这个偏差最后要靠爱因斯坦的广义相对论来解释2，那是第 28 章。拉普拉斯对“算得准”的信心，则会在第 7 章遇到庞加莱和三体问题。
下一章先离开天空，去看另一种难算的东西，流体。欧拉、伯努利和达朗贝尔用同样的新数学去算水和空气，这条线最后通向了飞机。能量守恒这一条线，则要等到第 10 章，和热会合。
自测五个问题
1. 笛卡尔认为守恒的“运动的量”错在哪里？惠更斯怎样改正？
2. 在演示 1 里，1 千克的 A 车以 2 米/秒撞向静止的 3 千克 B 车，两车粘在一起。碰后速度多少？动能少了多少，去了哪里？
3. 拉格朗日说《分析力学》里“找不到任何图”，这对解决实际问题有什么好处？
4. 布瓦尔 1821 年的天王星表为什么没过二十年就不准了？
5. 有人说海王星的发现是“幸运的意外”，理由是什么？为什么这个说法站不住？
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