从杠杆到量子 · 一部按时间走的物理学第 4 章 / 第一单元 · 运动与天空
第 4 章 · 1665—1727

牛顿综合

让苹果落地的力，和拉住月亮的力，是不是同一个？一个剑桥学生在瘟疫年里开始想这个问题，二十年后用一本书给出了答案。

阅读约 30 分钟两个可以动手的演示公式：2 个
序章第一单元 · 运动与天空 · 4 / 7终章

时代速写瘟疫年里的伍尔索普

1665 年夏天，鼠疫逼近剑桥，大学关门了。三一学院一个刚拿到学士学位、22 岁的学生收拾书本，回到林肯郡伍尔索普村的老家，一住就是将近两年1。

他叫艾萨克·牛顿（Isaac Newton）。按当时英国还在用的儒略历，他生于 1642 年圣诞节；换成今天通用的格里历，是 1643 年 1 月 4 日1。伍尔索普的那座石头庄园今天归英国国民信托所有，院子里有一棵“肯特之花”品种的老苹果树，至少 240 年来一直被当作“牛顿的苹果树”展示给游客，从牛顿卧室的窗户就能看到它2。

几十年后，牛顿在一份备忘录里回忆这段日子，说那时“正值我发明的黄金年华，比以后任何时候都更专注于数学和哲学”3。这段时间里，他在数学和光学上都做出了开创性的工作4，还有了一个想法：让东西落地的重力，也许一直延伸到月亮那么远3。斯坦福哲学百科干脆把 1665—1667 年叫作他的“奇迹年”，虽然这个“年”跨了不止一年4。

这一章要讲的，是这个想法怎样在二十年后长成了《自然哲学的数学原理》，以及它怎样把前几章的两条线拧到了一起：第 1、3 章地上的运动，第 2 章天上的行星。

  • 1665剑桥因瘟疫关闭，牛顿回到伍尔索普，1667 年才回校1。
  • 1666据牛顿晚年回忆，他开始想重力能否延伸到月球轨道3。
  • 1679—1680胡克写信给牛顿讨论行星运动，信里写出吸引力与距离平方成反比4,5。
  • 1684哈雷到剑桥拜访牛顿，问平方反比的引力会让行星走什么样的路线6。
  • 1687《自然哲学的数学原理》在伦敦出版，钱由哈雷垫付7,8。
  • 1705哈雷用牛顿的理论计算彗星轨道，预言一颗彗星将在 1758 年前后回来9。
  • 1712皇家学会出版《通信集》，在微积分优先权之争中判牛顿胜10。
  • 1727牛顿在伦敦肯辛顿去世，葬于威斯敏斯特教堂11。
  • 1759哈雷预言的彗星过近日点，牛顿力学通过了一次公开的大考12。

问题天上一套规律，地上另一套

到 1660 年代，欧洲的学者手里已经有了不少零件，但它们拼不到一起。

天上这边，第 2 章讲过，开普勒在 1609 和 1619 年给出了行星运动的三条定律：轨道是椭圆，太阳在一个焦点上；行星离太阳近时走得快；公转周期的平方与轨道大小的立方成正比。这三条定律极其准确，可开普勒说不清是什么东西让行星这样走。

地上这边，第 3 章讲过，伽利略弄清了落体的规律，知道抛出去的石头走抛物线，也摸到了惯性的边：在光滑的水平面上，运动的东西会一直走下去。惠更斯则用摆把地面上重力的强度量得相当准7。可这些都是地上的事。

中间隔着一道两千年的墙。第 1 章说过，亚里士多德认为天上的东西由另一种物质构成，天然地做圆周运动，地上的规则管不到那里。哥白尼和开普勒已经把这道墙拆松了，但还没有人能用同一条规律同时算出苹果怎么落、月亮怎么转。

到 1670 年代，有人已经很接近了。1674 年，皇家学会的罗伯特·胡克（Robert Hooke）在《试证地球的运动》里提出三条假设：所有天体都吸引自己的各部分，也吸引别的天体；运动的物体会沿直线一直走下去，除非有别的力把它扳弯；离得越近，吸引越强5。这三条几乎就是后来答案的轮廓，可胡克没有说吸引力随距离怎样变小，也没有给出任何数学证明5。

1684 年 1 月，天文学家埃德蒙·哈雷（Edmond Halley）、建筑师克里斯托弗·雷恩和胡克在伦敦的一家咖啡馆里讨论一个具体的问题：如果太阳对行星的吸引力和距离的平方成反比，能不能推出行星的轨道是椭圆？三个人都拿不出证明6。难点在数学上：力在轨道上每一点都在变，怎样把无数个“每一瞬间”的变化累加成一整条曲线？

1665 — 1667苹果、月亮与“黄金年华”

一个苹果的两份记录

牛顿和苹果的故事人人都听过，但很少有人知道它的出处。它最早的文字记录有两份，都来自牛顿晚年亲口所讲。

斯蒂克利的记录1726 年 4 月 15 日，古物学家威廉·斯蒂克利在牛顿肯辛顿的住处吃饭。饭后天气暖和，两人到花园里，在苹果树下喝茶。牛顿说，他当年想到引力的时候，就是这样的情境：他坐着沉思，一个苹果掉下来，他心里问，为什么苹果总是垂直落向地面，为什么不往旁边，不往上13？
康杜伊特的记录约翰·康杜伊特是牛顿外甥女的丈夫。他写道：1666 年牛顿离开剑桥，回到林肯郡母亲家，在花园里沉思时想到，让苹果从树上落地的重力，并不局限于离地面一定的距离之内，它一定延伸得比通常以为的远得多。为什么不能一直到月亮那么高？如果能，它就会影响月亮的运动，也许正是它把月亮留在轨道上14。

斯蒂克利的回忆录 1752 年写成，手稿一直藏在皇家学会，2010 年学会把它数字化放上网15。两份记录都说苹果“落下”，都没有说砸到牛顿的头13,14。故事本身很可能有其事，但要记住它的性质：这是一位八十多岁的老人对六十年前的回忆，而他那时正和莱布尼茨争夺发明权，有理由强调自己很早就想到了这些3。

伍尔索普庄园草坪上一棵开着白花的老苹果树，树干严重倾斜，几乎贴着地面
伍尔索普庄园的“牛顿苹果树”。看树干：它斜着几乎躺到了地上，枝条从倒伏的主干上重新长起来。这棵“肯特之花”大约在 400 年前扎根，至少 240 年来一直被当作牛顿的苹果树展示2。没有记录能证明故事里的苹果就是从这棵树上掉下来的。Humphrey Bolton 摄，CC BY-SA 2.0 · Wikimedia Commons

从开普勒第三定律到平方反比

苹果只是一个起点，真正的问题是：如果重力能延伸到月亮，它到了那里还剩多大？牛顿在晚年的备忘录里说，他从开普勒第三定律出发，推出维持行星在轨道上的力，必须和它们到太阳的距离的平方成反比3。

这一步的思路可以用白话讲。一个东西沿圆周运动，需要一个一直指向圆心的拉力，拉力越大，转得越快。开普勒第三定律说，离太阳越远的行星，周期长得越多：周期的平方和距离的立方成正比。把这两件事放在一起算，所需的拉力恰好随距离的平方变小。距离变成 2 倍，拉力变成四分之一；距离变成 10 倍，拉力变成百分之一。这就是平方反比。

牛顿接着说，他用这个规律比较了“维持月球在轨道上所需的力”和“地面上的重力”，“发现二者相当接近”3。这就是后来写进《原理》的月球检验，下一节有一个演示专门复原它。

回忆可信到什么程度

科学史家怀特塞德（D. T. Whiteside）在 1964 年仔细对照了牛顿早年的手稿。他发现牛顿到 1665 年底确实已经有了定量计算圆周运动所需的力的方法，但他在 1666 年前后算月球时用的地球半径偏小（约 3500 意大利里），结果并没有晚年说的那么吻合3。怀特塞德的结论是，晚年那份“1666 年就已大体想通”的回忆，写于和莱布尼茨争优先权的年月，不能直接当作当年的记录3。比较稳妥的说法是：瘟疫年里，牛顿有了关键的几块零件；把它们拼成完整的理论，又用了将近二十年。

流数：为“每一瞬间”发明的数学

同一段时间里，牛顿还发展出一种新的数学工具1。他把一个不断变化的量叫作“流量”，把它变化的快慢叫作“流数”。今天的名字是微积分：微分回答“这一瞬间变得多快”，积分回答“无数个瞬间累加起来是多少”。

第 1 章里，奥雷姆用三角形的面积算出匀加速运动走过的路，那就是一次“累加”。可是行星的速度和受力在轨道上每一点都不一样，三角形和长方形不够用了。流数法正是对付这种连续变化的工具。1669 年牛顿当上剑桥的卢卡斯数学教授，同年，讲这种方法的论文《论分析》由他的前任巴罗寄给了柯林斯，在少数数学家中传看；1671 年他又写成一部更完整的《流数法》，却一直压在手里，到他死后的 1736 年才出版1。这一压，为后来那场争吵埋下了伏笔。

1684 — 1687一个问题催生的一本书

1684哈雷的剑桥之行

咖啡馆里那个没人能回答的问题，哈雷一直放在心上。1684 年 8 月，他专程到剑桥拜访牛顿，问的就是它：如果引力和距离的平方成反比，行星会走什么样的路线？他发现，牛顿早就证明过这些结果，只是没打算发表6。

牛顿答应把证明重新写出来。11 月，他寄给哈雷一份九页的手稿《论物体在轨道中的运动》4,7。哈雷看出了它的分量，催牛顿写成一本书6。此后两年多，九页长成了三卷：第一卷讲物体在向心力作用下怎样运动；第二卷讲物体在有阻力的介质里怎样运动；第三卷叫“宇宙体系”，把前两卷的结果用到行星、卫星、彗星和潮汐上，证明万有引力7。

1686没钱的学会，出钱的秘书

书稿交到皇家学会，问题来了：学会没钱。它刚刚花大价钱出版了一部插图豪华的鱼类图谱《鱼类史》，几乎掏空了家底8。最后是哈雷，当时学会里一个年轻的职员，从自己口袋里掏出了大部分印刷费用6,8。

学会会长、以日记闻名的塞缪尔·佩皮斯批准了出版。他的批准语用大号字印在了扉页上，日期是 1686 年 7 月 5 日16。1687 年 7 月，《自然哲学的数学原理》出版，后人常简称为《原理》7。

《自然哲学的数学原理》1687 年初版扉页，拉丁文，中间有大号字 IMPRIMATUR 和 S. PEPYS
《原理》初版扉页，伦敦，1687 年。看中间那行大号字 IMPRIMATUR（准予印行），下面是“S. PEPYS, Reg. Soc. PRÆSES, Julii 5. 1686”，即皇家学会会长佩皮斯的批准16。作者一栏写着牛顿是三一学院院士、卢卡斯数学教授、皇家学会会员。斯特拉斯堡大学图书馆藏本，公有领域 · Wikimedia Commons
牛顿肖像，长长的灰白头发，穿深色宽袍，右手搭在桌沿
牛顿，46 岁，戈弗雷·克内勒绘，1689 年，《原理》出版两年后。画中的形象可能经过了美化。油画，公有领域 · Wikimedia Commons

就在第一卷交到学会的时候，胡克站出来，要求牛顿承认平方反比是他先提出的5。牛顿的反应很激烈。这场争吵连同后来和莱布尼茨的那一场，留到后面专门讲。先看这本书到底说了什么。

概念三条定律和一个平方反比

运动的三条定律

《原理》开头先给出定义，再列出三条“运动的公理或定律”。下面是按斯坦福哲学百科所用的英译转成的中文7：

  • 第一定律每个物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非有外加的力迫使它改变这种状态。这就是惯性定律。第 1 章说过，亚里士多德在论证真空不可能存在时写过一句话：在真空里，没有理由让被推动的东西停在这里而不停在那里，所以它要么静止，要么一直走下去。他把这当成真空荒谬的证据，牛顿把几乎同样的意思当成了整个力学的第一块基石。布里丹的“冲力”是让物体继续运动的内在原因；牛顿说，匀速直线运动根本不需要原因，需要解释的是运动的改变。
  • 第二定律运动的改变与所加的动力成正比，并沿着该力所在的直线方向发生。牛顿说的“运动”是物质的量乘以速度，今天叫动量；“物质的量”由密度和体积共同决定，今天叫质量7。同样的力推一辆空购物车和一辆装满的车，空车的速度改变得多。
  • 第三定律每一个作用，总有一个相等的反作用和它相对；两个物体之间的相互作用总是相等，方向相反。你推墙，墙也推你；喷气发动机把热气向后喷，热气就把发动机向前推17。地球拉苹果，苹果也用同样大的力拉地球，只是地球太重，它的运动改变小到无法察觉。

今天课本上的第二定律写成这样：

F = m a
F
物体受到的合力（牛顿，N）
m
物体的质量（千克）
a
加速度：速度每秒改变多少（米/秒²）。速度变快、变慢、转弯，都算加速度
读法：同样的力，质量翻倍，加速度减半；同一个物体，力翻倍，加速度翻倍。没有力，加速度为零，物体就保持原来的运动，这正是第一定律。

有一个细节常被忽略：这个公式在《原理》里一次也没有出现过7。牛顿用的是比例和几何的语言。F = ma 这种一般的代数写法，第一次出现在瑞士数学家欧拉 1750 年写成、1752 年在柏林科学院刊物上发表的《力学新原理的发现》里18。从牛顿的定律到今天的公式，中间隔着半个多世纪的数学加工。

万有引力

第三卷里，牛顿把平方反比的吸引推广到了一切物体：太阳拉行星，地球拉月亮和苹果，木星拉它的卫星，而且每个物体受到的引力和它的物质的量成正比7。写成今天的公式：

F = G M m ÷ r2
F
两个物体之间互相吸引的力（牛顿）
M, m
两个物体的质量（千克）
r
两个物体中心之间的距离（米）。右上角的 2 表示平方
G
引力常数，一个非常小的固定数。今天的测量值是 6.674 30 × 10−11，单位 米³/(千克·秒²)19。牛顿自己并不知道它的数值
读法：两个物体越重，吸引越强；距离变成 2 倍，引力变成四分之一。把地球的质量和半径代进去，算出的就是你的体重；把太阳和地球代进去，算出的就是拉住地球绕太阳转的力。

“万有”两个字是关键。在牛顿之前，地上的重力和天上的运动是两回事；在牛顿之后，它们是同一个力在不同距离上的表现。物理学史上第一次大统一就在这里。

月球检验：月亮也在“掉”

怎样证明拉住月亮的就是让苹果下落的那个力？《原理》第三卷命题 4 给出的论证是这样的7：

  1. 月球离地心大约 60 个地球半径。如果重力按平方反比减弱，月球那里的重力应该只有地面的 1/60²，也就是 1/3600。
  2. 月球如果不受力，会沿切线直直飞走。它实际走的是一条圆弧，每时每刻都在偏离那条直线，也就是在朝地球“掉”。从月球的距离和公转周期，可以算出它一分钟偏离直线多少。牛顿算出来是大约 15 巴黎尺，约合 4.9 米7。
  3. 地面上的物体一秒钟下落的距离也是约 4.9 米。这个数字依赖惠更斯用摆对重力的精确测量7。
  4. 重力减到 1/3600，同样的下落距离需要 60 倍的时间，因为下落距离和时间的平方成正比，60² = 3600。所以月亮一分钟掉的，正好等于苹果一秒钟掉的。两边对上了。

用今天的数据再算一遍：月球轨道半长轴 384 400 千米，绕地球一周 27.32 天20；地球平均半径 6371 千米，平均表面重力 9.82 米/秒²21。下面的演示让你把平方反比换成别的规律试试，看月亮还对不对得上。

月球检验演示 1 · 改变引力随距离减弱的方式，再让苹果和月亮一起“落”

把指数拉到 1，引力减弱得太慢，月亮每分钟要掉几百米；拉到 3，减弱得太快，月亮一分钟只掉几厘米。只有平方反比让天上和地上对得上，误差约 1%。剩下那约 1% 的差别，主要是因为月球本身也有质量，大约是地球的 1.2%21,20，地球和月亮其实是绕着两者共同的质心转，这让月球的实际周期比只考虑地球引力时略短一点。

大炮与卫星：从“掉”到“绕”

月亮在掉，却永远掉不到地上，因为它同时在往前飞，地面在它下方弯下去的速度和它掉的速度一样快。牛顿用一个思想实验讲过这件事：在一座极高的山顶上架一门大炮，水平发射。火药越多，炮弹飞得越快，落地点越远；快到一定程度，炮弹落下的弧线和地球表面的弯曲一样，它就再也碰不到地面，一直绕着地球“落”下去22。NASA 的航天入门教材至今还用这个例子解释轨道，并说明在轨道上感到失重，是因为人和飞船在一起自由下落22。

牛顿的大炮演示 2 · 选山高，调炮口速度，发射

按“设为圆轨道速度”，再把速度一点点往上调：轨道变成越来越长的椭圆，山顶永远是离地球最近的那一点；超过逃逸速度，炮弹就再也回不来了。把山高换成 100 千米，圆轨道速度是 7.85 千米/秒，已经很接近第一宇宙速度。NASA 的教材也提醒，这个例子忽略了很多事实：地球上不可能有这么高的山，空气也会拖慢炮弹22。牛顿的大炮要等到 270 年后才由火箭实现，那是本章“影响”一节的故事。

1676 — 1716两场争吵：胡克与莱布尼茨

《原理》让牛顿成了欧洲最有名的自然哲学家，也把他卷进了两场持续多年的优先权之争。两场争吵的性质不同，今天的评价也不同。

胡克：谁先想到了平方反比

牛顿和胡克的关系早就不好。1675 年底，牛顿向皇家学会提交了关于光的论文，胡克抗议说其中的想法他 1665 年就在《显微图谱》里写过，牛顿则回敬说胡克的理论不过是“热过一遍的笛卡尔”23。光的故事留到第 15 章。1676 年 2 月 5 日，牛顿在给胡克的信里写下了那句名言：“如果说我看得更远，那是因为我站在巨人的肩上。”这封信的原件今天保存在宾夕法尼亚历史学会23。这句话常被当作牛顿谦虚的证据，可它并不是牛顿首创，这个比喻可以追溯到中世纪；写在一场争吵之后，它更像一句客气话23。

1679 年末，胡克主动写信给牛顿4，提出可以把行星的运动看成两部分：沿切线的直线运动，加上一个指向太阳的吸引24。1680 年 1 月 6 日，他在信里写道，吸引力和到中心距离的平方成反比5,24。可是从平方反比出发，行星到底走什么样的轨道，胡克证明不出来；五年后哈雷来访时，牛顿手里已经有了证明6。

1686 年《原理》第一卷交到学会，胡克要求承认他的优先权5。牛顿大为恼火。学界对这件事至今看法不一。韦斯特福尔（R. S. Westfall）1967 年的论文认为，胡克并没有真正的万有引力概念，他得出平方反比的推理相当混乱，撑不起优先权；但他也承认牛顿对胡克很不大方5。物理学家瑙恩伯格（M. Nauenberg）2005 年的研究则强调，胡克“切向运动加中心吸引”的分解思路，正是牛顿后来处理轨道问题的出发点，这是实打实的贡献24。比较公允的说法是：平方反比这个猜想，胡克和不少同时代人都想到过；从它出发严格推出椭圆轨道、再推广到万物，是牛顿一个人做成的。

莱布尼茨：谁先发明了微积分

另一场争吵的对手是德国哲学家、数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）。他在巴黎期间独立发展出一套微积分，1675 年 11 月 21 日的手稿里第一次用了今天的积分符号 ∫25。1684 年，他在莱比锡的《学者学报》上发表《求极大极小和切线的新方法》，这是微分学第一次公开发表；1686 年又发表了积分学25。这时牛顿的流数法还压在抽屉里。

两人 1676—1677 年间曾经通过皇家学会秘书奥尔登堡通信，谈到过各自的方法25。后来这些信成了争论的焦点。1711 年，牛顿的支持者凯尔在《哲学汇刊》上公开指控莱布尼茨抄袭；莱布尼茨向皇家学会申诉，学会成立委员会调查，委员会从头到尾没有征询莱布尼茨本人的意见25。此时学会的会长正是牛顿4。1712 年底，学会出版了一部书信集《通信集》，判定牛顿在先10。1715 年初，《哲学汇刊》又匿名刊出一篇对这部书的长篇述评，作者其实是牛顿自己4,10。

今天的通行看法是，两人各自独立发明了微积分：牛顿在先，莱布尼茨先发表1,25。莱布尼茨的 d 和 ∫ 记号证明非常好用，对后来微积分的发展至关重要，一直沿用到今天25。

1705 — 1759预言一颗彗星

一个理论要让人信服，最好的办法是预言一件还没发生的事。牛顿在《原理》第三卷里已经算出了 1680 年大彗星的轨道，和观测吻合得很好26。这说明彗星和行星一样受太阳引力支配，只是轨道拉得极长。

哈雷接着往下做。1705 年，他发表《彗星天文学概要》，用牛顿的理论计算了历史上 24 颗彗星的轨道26,9。他注意到，1531 年、1607 年和 1682 年出现的三颗彗星轨道几乎一样，于是判断它们是同一颗，大约每 76 年回来一次，下一次应在 1758 年前后26。哈雷 1742 年去世，没能等到这一天6。

到了 1750 年代，欧洲天文学家开始认真准备。哈雷自己只敢说它会在 1758 到 1759 年之间回来26，因为木星和土星的引力会让彗星提前或推迟到达。法国数学家克莱罗（Alexis Clairaut）和天文学家拉朗德、勒波特夫人一起，详细计算了这两颗大行星的拉扯26。1758 年 11 月 14 日，克莱罗向巴黎科学院宣布：彗星将在 1759 年 4 月 15 日前后经过离太阳最近的点12。

1758 年圣诞节，德国的帕利奇（Johann Palitzsch）在预计的位置看到了它6,26。它实际过近日点是 1759 年 3 月 13 日，比克莱罗的预报早了约一个月12。对于一个 76 年才转一圈、还被两颗大行星来回拉扯的天体，这已经相当准确。这是人类第一次成功预言彗星回归9。这次回归也表明，万有引力不只管行星，也管彗星这样轨道极扁的天体26。这颗彗星从此以哈雷的名字命名。

星空背景下的哈雷彗星，左侧明亮的彗头，向右拖出一条白色尘埃尾和一条偏蓝的离子尾
哈雷彗星，1986 年 3 月 8 日。看左边那团最亮的光：彗头。向右拖出两条尾巴，白色的宽尾是尘埃，下方细长偏蓝的是电离气体。彗星上一次过近日点是 1986 年 2 月 9 日，下一次在 2061 年；它的周期在 74.4 年到 79.3 年之间变化，正是因为行星的拉扯9。W. Liller 摄，NASA 国家空间科学数据中心，公有领域 · Wikimedia Commons

影响它怎么改变了世界

《原理》出版后，欧洲大陆的莱布尼茨、惠更斯等人起初并不接受牛顿的引力27；从这本书到第一颗人造卫星，又隔了 270 年。下面四条线，从 18 世纪一直延伸到今天。

一 · 钟表一样的宇宙：启蒙运动的底色

如果几条定律就能算出行星、彗星和苹果，那么宇宙看上去就像一台按规律运转的巨大钟表。这个图景深深影响了 18 世纪的思想。伏尔泰、洛克、休谟都认真研究过牛顿，许多人试图把他的方法搬到哲学和对人性的研究上27。1738 年，伏尔泰出版《牛顿哲学原理》，向法国读者普及牛顿，书里技术性较强的部分得益于他的伴侣、数学家夏特莱侯爵夫人；她本人把《原理》译成法文并加了注释，1749 年完成，1759 年出版，至今仍是主要的法译本28。

钟表的比喻也引出了争论。1715 年，莱布尼茨写信给牛顿的支持者克拉克，讥讽说照牛顿派的说法，全能的上帝得时不时给他的钟表上弦，否则它就会停下来29。宇宙是不是一台不需要干预、自己运转的机器？这个问题从此成了科学与宗教讨论的一部分。牛顿 1727 年去世，遗体在威斯敏斯特教堂停放后下葬，皇家学会的大多数会员和许多贵族为他送葬11。诗人蒲柏为他写了一句墓志铭：“自然和自然的法则隐藏在黑夜里；上帝说，让牛顿出世吧！于是一切都明亮了。”这句话最后没有刻上纪念碑，却一直流传到今天11。

二 · 炮弹不走抛物线：炮术变成科学

伽利略说抛体走抛物线，那是不计空气阻力的理想情形。英国数学家本杰明·罗宾斯（Benjamin Robins）想知道真实的炮弹有多快、空气拖慢它多少。他发明了弹道摆：把子弹打进一个悬挂的重木块，木块带着子弹一起摆起来，从摆起的幅度就能算出子弹的速度30。这个算法靠的正是牛顿的第二、第三定律：子弹和木块之间的相互作用大小相等、方向相反，碰撞前后总动量不变。

1742 年他出版《炮术新原理》，用实验数据证明空气阻力比人们原先以为的大得多，高速炮弹根本不走抛物线30。这本书成了此后炮术理论的基础；欧拉 1745 年把它译成德文并加上大量评注，法国科学院也安排了翻译，罗宾斯因此获得皇家学会的科普利奖章30。

三 · 地球是扁的：用理论预言整个星球的形状

牛顿和惠更斯都认为，地球两极是扁的12。这可以检验。1736 年 4 月到 1737 年 8 月，法国学者莫佩尔蒂率领的测量队在北极圈附近的拉普兰做测量，队员里有克莱罗，也有后来发明摄氏温标的瑞典天文学家摄尔修斯12。结果证实地球两极扁平，克莱罗 1743 年写成《地球形状理论》，给这个结论打下了理论基础12。今天测得地球的扁率是 0.003353，赤道半径比两极半径长约 21 千米21。一个物理理论预言了整个地球的形状，测量结果站在了牛顿一边。

四 · 从斯普特尼克到深空导航

牛顿的大炮在 1957 年 10 月 4 日变成了现实：苏联的斯普特尼克 1 号进入地球轨道，人类第一个人造物体在太空里绕着地球“落”下去，航天时代开始了31。实际入轨要先升到约 150 千米高，避开大部分空气，再加速到每小时约 3 万千米22，和演示里 100 千米山顶的圆轨道速度（7.85 千米/秒，约合每小时 2.8 万千米）相当。

几年后，美国 NASA 兰利研究中心的数学家凯瑟琳·约翰逊（Katherine Johnson）为 1961 年谢泼德的首次载人飞行做轨道分析。1962 年，约翰·格伦要乘“友谊 7 号”绕地球飞行，电脑已经算好了轨道，格伦却点名要她用台式机械计算器，把同样的方程手算一遍，说“她说没问题，我就可以出发”32。后来她又参与计算阿波罗登月舱如何与绕月飞行的指令舱会合32。

今天，NASA 喷气推进实验室（JPL）给行星和探测器算位置用的 DE440 历表，核心仍是天体之间按距离平方反比相互吸引的牛顿引力，在此基础上加上相对论的小修正，以及地球不是正球、潮汐、阳光压力等效应33。从伍尔索普的苹果到今天的行星探测器，用的是同一个平方反比；只有在要求极高精度的时候，才需要第 28 章要讲的广义相对论来补上最后几位小数。

误解苹果、公式和巨人的肩膀

误解一 · 一个苹果砸到牛顿头上，他就发现了万有引力

两份最早的记录都来自牛顿晚年亲口讲述：斯蒂克利说牛顿看见苹果落下，心里问它为什么总是垂直落地13；康杜伊特说牛顿由此想到重力也许能延伸到月亮14。两份记录里都没有“砸到头”这个情节13,14。更重要的是，苹果最多是一个起点。从“重力也许能到月亮”到《原理》，中间有开普勒定律的推算、月球检验、哈雷的追问和将近二十年的数学工作；而且按怀特塞德的考证，1666 年前后的月球计算并没有晚年说的那么吻合3。

误解二 · F = ma 是牛顿写下的

《原理》里没有这个公式。牛顿的第二定律说的是“运动的改变与所加的动力成正比”，用的是比例和几何的语言7。把它写成 F = ma 这种一般形式，是欧拉 1750 年的工作18。说它是“牛顿第二定律”没有错，内容是牛顿的；但今天的样子是后人一步步加工出来的。

误解三 · 牛顿认为引力是一种能隔空作用的神秘力量

恰恰相反。1693 年他在给神学家本特利的信里说，一个物体不经过任何媒介、隔着真空作用于另一个物体，是“极大的荒谬”，有哲学头脑的人都不会相信27。他只是不知道引力是怎样传过去的，也不肯乱猜，所以在 1713 年《原理》第二版的“总释”里写下“我不杜撰假说”（Hypotheses non fingo）7,27。当时莱布尼茨和惠更斯正是以“超距作用”为由反对牛顿引力的27。引力到底怎样传递，要等到第 28 章的广义相对论才有新的回答。

误解四 · “站在巨人的肩上”是牛顿谦虚的名言

这句话出自 1676 年牛顿给胡克的信，写在两人关于光的争吵之后23。这个比喻在中世纪就有人用，并非牛顿原创23。放回原来的语境，它更像一句给对手台阶下的客气话。牛顿后来和胡克的关系越来越坏，《原理》出版前后又为平方反比吵了一场5。

承上启下两条线在这里会合

第 1 章结尾说，第一单元的两条线要在牛顿这里会合。现在可以看清会合点在哪里：地上的线，经过阿基米德、布里丹和伽利略，变成了三条运动定律；天上的线，经过托勒密、哥白尼和开普勒，变成了平方反比的万有引力。月球检验把它们焊在了一起，苹果和月亮服从同一条规律。第 3 章伽利略的抛物线，是牛顿大炮在低速时的样子；第 2 章开普勒的三条定律，可以从平方反比严格推出来。

可《原理》并不是终点。牛顿用的是几何语言，算两个物体还行，算太阳、木星、土星和一颗彗星互相拉扯，就难多了。克莱罗算哈雷彗星时就吃足了这个苦头。下一章讲 18 世纪的数学家怎样把牛顿力学改写成今天的样子：欧拉、拉格朗日、哈密顿，动量和“活力”之争，潮汐和天体摄动，最后在 1846 年，用纸和笔在天上找到了一颗没人见过的行星。

自测五个问题

1. 牛顿第一定律和布里丹的“冲力”有什么根本区别？
冲力是物体内部推着它继续运动的原因，会被阻力和重性消耗掉，所以运动本身仍需要解释。第一定律说匀速直线运动不需要任何原因，只有运动的改变（加速、减速、转弯）才需要力。
2. 月球检验里，为什么“月亮一分钟掉的”正好等于“苹果一秒钟掉的”？
月球离地心约 60 个地球半径，按平方反比，那里的重力只有地面的 1/3600。下落距离和时间的平方成正比，重力减到 1/3600，要掉同样的距离就需要 60 倍的时间（60² = 3600）。所以 60 秒对 1 秒，两边都约 4.9 米。
3. 在大炮演示里，山顶 1000 千米高时，圆轨道速度约 7.35 千米/秒，比贴地面的 7.91 千米/秒小。为什么越高需要的速度越小？
引力随距离的平方减弱，越高处引力越弱，需要的向心力越小；同时轨道越大，地面“弯下去”得越慢。两者合起来，维持圆轨道所需的速度随高度增加而减小，按 v = √(GM/r) 变化。
4. 胡克和牛顿争的是什么？今天的学者怎么看？
胡克认为平方反比引力是他先提出的，他在 1680 年 1 月的信里写过，1679 年还提出把行星运动分解为切向运动加中心吸引。韦斯特福尔认为胡克没有完整的万有引力概念、推理混乱；瑙恩伯格则强调他的分解思路是重要贡献。比较公允的看法是：平方反比是当时不少人的猜想，严格推出椭圆轨道并推广到万物的是牛顿。
5. 哈雷彗星 1758 年的回归为什么是对牛顿力学的一次重要检验？克莱罗的预报差了多少，为什么会有偏差？
哈雷用牛顿的理论认定 1531、1607、1682 年的彗星是同一颗并预言它回来，这是对还没发生的事的公开预言。克莱罗计入木星、土星的引力后预报 1759 年 4 月 15 日过近日点，实际是 3 月 13 日，早了约一个月。偏差来自计算中的近似，以及大行星摄动本身极难算准；后来他改进方法，重新算出 3 月 30 日。

参考来源本章依据

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图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。

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