伽利略：望远镜、钟摆与审判
一根摆线、一支镜筒和一场审判，怎样让“地球在动”从天文学家的计算技巧，变成一个关于物理、证据和权威的问题。
时代速写1610 年 1 月 7 日，帕多瓦的冬夜
1610 年 1 月 7 日，天黑后的第一个小时，帕多瓦大学的数学教授伽利略·伽利莱（Galileo Galilei）把一根自制的镜筒对准木星。他看见木星旁边有三颗很小、很亮的星，排成一条直线，和黄道平行1。
他起初以为那是背景里的恒星，只是奇怪它们排得这么整齐。第二天晚上再看，三颗星全跑到了木星的西边，彼此也靠得更近了1,2。恒星不会这样乱跑。又看了几个晚上，他认定一共有四颗，它们在绕着木星转，“就像金星和水星绕着太阳”2。这是人类第一次看到绕着别的行星转的月亮。
那年伽利略 45 岁，已经在帕多瓦教了十几年数学3。他研究落体、斜面和摆，在意大利的学者圈子里小有名气，出了这个圈子没多少人知道他。两个月后，一本薄薄的小书让他名满欧洲。二十三年后，另一本书让他在罗马宗教裁判所宣誓弃绝自己的观点。
这一章讲他一生里三件互相缠绕的事。一根摆线让他学会了量时间；一支镜筒给了他天上的新证据；一场审判提出了一个至今没有过时的问题：谁有资格判断自然是什么样子。夹在中间的，还有两个不那么热闹的发现，惯性的雏形和抛物线。它们后来被笛卡尔和牛顿接了过去。
- 1581在比萨大学注册读医学，后来没拿学位，转向数学。博物馆和斯坦福哲学百科把入学年份记作 1580 年4,3,5。
- 1592到威尼斯共和国的帕多瓦大学任数学教授，一待十八年3。
- 1602写信给圭多巴尔多·德尔蒙特，这是现存最早讲“摆的等时性”的文件6,7。
- 1609听说荷兰人造出了望远镜，自己磨镜片仿制；8 月向威尼斯元老院献上一架 8 倍望远镜8。
- 16101 月 7 日看到木星的卫星；3 月出版《星际信使》；6 月成为托斯卡纳大公的首席数学家和哲学家，迁居佛罗伦萨1,9,4。
- 1616哥白尼的书被教廷禁书部暂停发行；红衣主教贝拉明告诫伽利略不得“持有或捍卫”日心说5,3。
- 1632《关于两大世界体系的对话》在佛罗伦萨出版，不久被禁售5,4。
- 1633在罗马受审，6 月 22 日被判“有强烈的异端嫌疑”，宣誓弃绝，余生软禁5,10。
- 1638《两门新科学》在荷兰莱顿出版，书里有惯性的雏形和抛物线轨迹。同年他双目失明5,3。
- 16421 月 8 日在佛罗伦萨郊外的阿切特里去世，77 岁3。
问题地球要是在转，我们为什么感觉不到
上一章结束时，哥白尼让地球绕着太阳转，开普勒把行星轨道算成了椭圆。可是这些都是天文学家的事，是一套算行星位置的几何。它们留下了一个物理上的大窟窿。
地球每天自转一圈，赤道上的地面每小时要跑约 1670 公里。那么，从高塔上松手的石头，落下来的这一两秒里，塔已经跟着地球往东走了一大截，石头应该落在塔脚西边很远的地方。可石头明明落在塔脚下。这是当时反对地动说最有力的论证之一5。同样的道理，鸟飞起来会被甩在后面，云会一律往西飘。按照第 1 章讲的亚里士多德物理学，这些反驳都很有道理：重物的本性是朝宇宙中心落去，“不推就停”，没有什么能让石头在空中自己跟着地球跑。
天上也有麻烦。亚里士多德说，月亮以上的天界由完美的以太构成，永恒不变，天体都是光滑的完美球体。第谷已经用 1572 年的新星和 1577 年的彗星在这面墙上凿了两个洞（第 2 章）。但这些只说明天上会变，还说不清地球到底动不动。托勒密、哥白尼、第谷三套体系，用肉眼看到的数据都能大致对上。要分出高下，需要一种新的观测。
还有一个更基本的困难：量不准时间。研究运动，离不开“多少秒”。可直到 17 世纪中叶，还没有一台钟能做到一天误差小于一分钟11。序章讲过，伽利略做斜面实验时，计时靠的是称水。
所以伽利略面对的是三个问题：怎样量时间；天上到底长什么样；运动着的地球上，东西为什么照常落下。下面按这个顺序讲。
1583 — 1638一根线、一个重物：摆的等时性
大教堂里的吊灯：一个查不实的故事
流传最广的说法是这样的：伽利略在比萨大学读书时，有一次在大教堂里望着头顶的吊灯被风吹得来回摆动。他按着自己的脉搏计时，发现吊灯摆得远也好、近也好，来回一次的时间都一样。回家后他做了个摆，开始研究它7。
这个故事出自维维亚尼（Vincenzo Viviani）。他是伽利略晚年的学生，也是伽利略的第一位传记作者。维维亚尼没有给出日期，后人推定在 1582 或 1583 年7。意大利学者法瓦罗（Antonio Favaro）指出，今天被叫作“伽利略之灯”的那盏吊灯，在伽利略做学生的时候还没挂进大教堂7。莱莫斯在 2026 年发表的一篇论文里说，这个故事既无法证实也无法否定；伽利略对摆的兴趣，也可能来自他在帕多瓦认识的医生圣托里奥，后者用一种短摆给病人量脉搏7。
1602一封想说服前辈的信
有据可查的最早文件，是伽利略 1602 年 11 月 29 日写给圭多巴尔多·德尔蒙特（Guidobaldo del Monte）的信6,7。圭多巴尔多是当时文艺复兴力学的重要学者。他们之前的两封信已经遗失，从这封回信看，伽利略先提出了摆的等时性，圭多巴尔多不相信7。
伽利略在信里描述了一个实验：两根一样长的线，各挂一个小球，一个拉开得远，摆一个大弧；一个拉开得近，摆一个小弧。同时放手，他说数到一百次、一千次，两只摆依然步调一致7。圭多巴尔多仍不服气。他的笔记显示，他自己做了实验，让小球在一个凹盆的内壁上来回滚，大概发现摆角很大时这个说法并不成立7。
1638《两门新科学》里的摆
三十多年后，伽利略在《两门新科学》里把这件事写得更具体。书中人物萨尔维亚蒂说，他用两根四五肘尺长的细线，一根挂铅球，一根挂软木球，铅球比软木球重一百多倍。两只摆一起摆，“一百次乃至一千次”，铅球也不会比软木球领先哪怕一刻。软木球只摆五六度、铅球摆五六十度时，它们仍然同时完成每一次摆动12。他接着说，每一次摆动，不论是九十度、五十度、二十度、十度还是四度，用的时间都相同12。
同一段里还有一条更有用的规律：摆长和周期的关系。萨尔维亚蒂说，周期之比等于摆长的平方根之比；想让一只摆的周期变成另一只的两倍，摆长就得是四倍；摆长九倍，短摆摆三次，长摆才摆一次12。萨格雷多马上想到一个用法：一根从高处垂下的长绳，看不见上端挂在哪里，只要在下端拴个重物让它摆起来，同时数一只一肘尺长的摆的次数。长绳摆 20 次，短摆摆 240 次，次数之比是 1 比 12，长绳就是 12 × 12 = 144 肘尺12。
伽利略只写出了比例。今天的写法把重力也写了进去：
- T
- 周期：摆来回一次所用的时间（秒）
- L
- 摆长：从悬点到重物中心的距离（米）
- g
- 重力加速度，地面附近约 9.81 米/秒²，也就是序章斜面公式里的 a 在竖直下落时的值
- 2π
- 约 6.28，来自摆动和圆周运动之间的几何关系
下面两只摆一样长。左边那只只拉开 5°，右边那只的摆角可以调。伽利略说，九十度和四度用的时间一样。先别按开始，看下面的时间轴：它画的是两只摆前 10 次摆动各自完成的时刻。
把右摆的摆角调到 10° 或 15°，两条刻痕几乎重合：小摆角下，伽利略是对的。调到 50°，它每摆 100 次就要落后大约 5 次；调到 90°，周期比小摆角时长了约 18%。伽利略说铅摆摆五六十度、软木摆五六度，一千次也不差一刻，这和今天的物理对不上12。
史家对此一直有争议。有人怀疑伽利略并没有真按书里写的那样做过对比；也有人认为，空气阻力让大摆角很快衰减成小摆角，实际看到的差别没有算出来的那么大。科学史家帕尔米耶里用计算机模拟和复现实验重新研究了这批记载，试图解释其中的谜团13,7。可以确定的是，圭多巴尔多的怀疑是对的，而伽利略在小摆角下的结论站得住，那正是做钟需要的部分。
大摆角为什么会慢？把摆锤拉回中间的力，并不和它偏离中间的距离成正比。偏得越远，这个力就比“成正比”时小得越多，摆锤回来得也就相对越慢。1659 年，荷兰人惠更斯（Christiaan Huygens）证明：只有让摆锤沿另一种曲线，即摆线（cycloid）运动，才能做到无论摆多大，周期都严格相同6。摆线就是自行车轮缘上一点在车轮滚动时画出的弧线。后面“它怎么改变了世界”一节会讲他怎样把这个数学结果装进钟里。
1609 — 1610望远镜：天上的新证据
1609一个从荷兰传来的消息
《星际信使》开头，伽利略自己讲了望远镜的来历：大约十个月前，他听说有个荷兰人造了一种镜筒，远处的东西看起来像在眼前；几天后，巴黎一位贵族的来信证实了这个消息。他于是琢磨折射的道理，用一根铅管，两头各装一片透镜，一片凸、一片凹。第一架让物体看起来近了三倍1。荷兰人那边，1608 年 10 月，米德尔堡的眼镜匠利伯希已经向海牙议会申请专利，他的镜筒能放大三四倍，专利没有批下来8。望远镜是怎么发明的、透镜为什么能成像，第 14 章再讲。
伽利略做的望远镜比别人的好得多4。1609 年 8 月，他把一架 8 倍望远镜献给威尼斯元老院；10 月或 11 月，他已经用上了 20 倍的望远镜8。元老院大为赞赏，给他大幅加了薪，他则把制造望远镜的专有权交给了元老院4。典型的伽利略式望远镜，物镜是一片焦距三四十英寸的平凸镜，目镜是一片焦距约两英寸的平凹镜，视野只有 15 角分左右，差不多是满月宽度的一半8。在这么窄的视野里找到一颗星、稳住镜筒，本身就是功夫。
月亮上的山
伽利略最先仔细看的是月亮。望远镜里，月亮的直径大了约 30 倍1。新月后的第四五天，月亮的明暗分界线如果是光滑球面，应该是一条光滑的弧线；可他看到的是一条参差不齐的波浪线。分界线外的暗区里，还有一些孤零零的亮点，过一两个小时，这些亮点会变大，最后和亮区连成一片1。
他的解释来自地上的经验：日出之前，平地还在阴影里，最高的山峰已经被阳光照亮；太阳升高，光一路往下铺，山腰、山脚、平地依次亮起来。月亮上的亮点就是山顶1。亮区里的小黑斑也一样，暗的那一侧总是朝着太阳，像山谷里的阴影1。他用山顶亮点离分界线有多远，算出有的月球山比 4 意大利里还高1。结论是：月亮的表面和地球一样，有高山深谷1。按亚里士多德的说法，天体由完美的以太构成，应当光滑无瑕。月亮上的山说明，“天上”和“地上”也许是同一种东西。
1610木星的四颗卫星
本章开头那一幕之后，伽利略几乎每个晴夜都去看木星，把几颗“小星”的位置画下来，标上日期和时刻1。它们有时在木星东边，有时在西边，有时少一颗（转到木星背后或前面去了），但从来不远离木星，总在一条直线上1,2。
这件事对日心说之争的意义很直接。按传统的宇宙观，地球是一切天体旋转的中心。木星带着四颗卫星在天上运行，说明宇宙里不只有一个旋转中心14。既然木星可以一边运行一边带着卫星，地球带着月亮绕太阳转，也就不再显得古怪。木卫的发现没有证明地球在动，但它让日心说少了一处难以想象的地方。
《星际信使》：从第一眼到印完，15 个星期
伽利略急着发表，怕别人也拿着望远镜看到同样的东西14。1610 年 3 月 12 日前后，威尼斯的巴利奥尼印刷所印出了这本拉丁文小书《星际信使》（Sidereus Nuncius），一共 550 册，一个多星期就卖光了9。从他第一次看到木卫到印完，只用了 15 周；大约 350 册赶上了当年的法兰克福书展，被带过了阿尔卑斯山15。今天已知的原本不超过 150 册左右9。
书里报告了四件事：月亮上有山；肉眼看到的星之外还有无数暗星；银河是由密密麻麻的星组成的；木星有四颗卫星5,1。伽利略把书献给托斯卡纳大公科西莫二世·德·美第奇，他以前的学生，并把木卫命名为“美第奇星”。他原想叫“科西莫星”，大公改了名，这时书已开印，只好在首版里贴上更正的纸条14。这份“礼物”换来了回报：同年 6 月，伽利略成为大公的首席数学家和哲学家，不用再上课4。
望远镜的消息很快传遍世界。1626 年，在中国传教的耶稣会士汤若望写成中文的《远镜说》，书里第一次用中文介绍了第谷的宇宙体系16。
1610金星的相位：它到底证明了什么
1610 年秋天，伽利略把望远镜转向金星。他看到金星像月亮一样有圆缺，形状在几个月里不断变化，从细月牙到接近圆盘都有17。12 月，他在一封信里用一个拉丁文字谜宣布了这个发现，字母重新排列后的意思是：“爱神之母模仿着月亮的形状”18。爱神之母指金星，月亮在诗里叫辛西娅。字谜的好处是先占住发现权，又不必在确认之前公开内容。
为什么金星的圆缺这么要紧？关键在于金星在哪里、太阳在哪里。看下面三张图，每张下面一排是同一时刻从地球看到的金星。
金星在一个小圆（本轮）上转，本轮的中心永远在地球和太阳的连线上。金星总在太阳和我们之间。
金星和地球都绕太阳转，金星的轨道在里圈。金星有时在太阳这边，有时跑到太阳背后。
太阳绕地球转，金星绕太阳转。金星和太阳、地球的相对位置，和哥白尼体系完全一样。
示意图，不按比例。金星亮的一面永远朝着太阳。下排的金星大小按它离地球的远近画：近的大、远的小。
托勒密体系里，金星的本轮夹在地球和太阳之间，金星离太阳永远比离我们近，它亮的那一面大部分时间背对着我们。从地球看去，它只能是一弯细月牙，或者干脆看不见，绝不可能出现接近满圆的样子17,19。伽利略看到了接近满圆的金星，托勒密的排法就站不住了。
可是再看第三张图。第谷的体系让太阳带着金星绕地球转，金星、太阳、地球三者的相对位置，和哥白尼体系一模一样，看到的圆缺也一模一样17。第 2 章说过，第谷体系在几何上和哥白尼体系等价。所以金星的相位否定了托勒密，却没法在哥白尼和第谷之间作出裁决17。伽利略把它当作日心说的证据，严格地说，它只是排除了一个对手。梵蒂冈天文台的科因神父后来评价，伽利略的望远镜观测“不是证明”，但它们是支持哥白尼的有力线索，理应被认真听取20。
一次观测能排除哪些理论，比它能“证明”哪个理论更容易说清楚。金星相位排除了“金星永远在太阳以内”的那一类模型。要在哥白尼和第谷之间分出胜负，需要另外的证据：比如地球公转造成的恒星视差，或者一套能同时解释天上和地上运动的力学。第 4 章的牛顿给出了后者。
1613 — 1633《对话》与审判
1613一封信，两个版本
出名之后，伽利略越来越公开地支持哥白尼。1613 年 12 月 21 日，他给比萨大学的数学家卡斯泰利（Benedetto Castelli）写了一封长信。信里第一次系统地论证：科学研究不应该受神学教条的约束；圣经里那些零星的天文描述，是为了让普通人能听懂而写的简化说法，不该按字面理解；懂神学的人未必有资格判断天文；哥白尼的日心说和圣经并不矛盾21。
这封信被人四处传抄。1615 年 2 月，多明我会修士洛里尼把一个抄本寄给了罗马的宗教裁判所。伽利略随即写信给罗马的朋友迪尼，说寄去的那份可能被人篡改了，附上一份措辞温和的版本，说这才是原文，请他转给神学家们21。长期以来，史家弄不清究竟是对手加重了措辞，还是伽利略自己改软了。
2018 年 8 月，意大利贝加莫大学的科学史学者里恰尔多到伦敦的英国皇家学会图书馆查别的资料，顺手翻在线目录，发现了这封信的原件。它在皇家学会至少待了 250 年，因为目录上的日期写错了，一直没人注意21。原件上有伽利略亲笔的涂改：一处原写圣经里某些说法按字面理解是“错误的”，他划掉“错误的”，改成“看起来与真理不同”；另一处把圣经“隐藏”教义改成“遮掩”。涂改底下的原文，和洛里尼寄给宗教裁判所的版本一样21。改措辞的是伽利略自己。
1616第一次警告
1616 年，教廷禁书部把哥白尼的《天球运行论》“暂停”发行，等待修改。2 月 26 日，红衣主教贝拉明当面告诫伽利略，不得“持有或捍卫”哥白尼学说5,3。这次告诫之后，档案里可能还记着一道更严格的正式禁令，“不得以任何方式持有、讲授或捍卫”。这道禁令是否真的当面宣布过，史家至今有争议。十七年后，正是这份记录让伽利略显得像是明知故犯5。
1632三个人的四天对话
1623 年，伽利略的朋友和支持者马费奥·巴尔贝里尼当选教皇，即乌尔班八世。伽利略觉得时机到了，开始写《关于两大世界体系的对话》5。“两大体系”指托勒密体系和哥白尼体系，第谷体系没有被当作一方。书里三个人物谈了四天：萨尔维亚蒂代表伽利略的观点，辛普利丘是总在吃惊的亚里士多德派，萨格雷多在两人之间发问。书名上说是在两种体系之间公平讨论，内容明显偏向哥白尼，只是没有明说5。书在 1632 年 2 月印成5,4。
书里有伽利略最好的论证，也有他最差的论证。第二天，他用后面要讲的船舱和桅杆，回答了“塔上落石”的反驳5。第三天，他让辛普利丘自己根据金星的相位和“金星、水星总在太阳附近”这两个事实画出行星轨道，画出来正好是哥白尼的图5。第四天，他提出了自认为最有力的证据：潮汐。他说地球一边自转一边公转，地面在一天里时快时慢，海水就在海盆里来回晃荡5。这个论证是错的。按他的理论，潮汐应该固定在中午和午夜前后，实际的潮汐时刻每天都在推移；而且他完全不理会潮汐和月亮的明显关系，把开普勒等人“月亮引起潮汐”的想法当作神秘主义一笔带过5。
1633审判
书出版没几个月，宗教裁判所就下令停售，命伽利略到罗马受审5。他年近七十，又病着，拖到 1633 年才到罗马4。1633 年 4 月 12 日第一次正式审讯；4 月 30 日第二次，他承认自己有错22。教皇要求再审，这一次是在“动用酷刑”的威胁下进行的，这是宗教裁判所的惯常程序22。
6 月 22 日宣判。判决说他让自己“有强烈的异端嫌疑”，即相信了一种虚假、违背圣经的学说：太阳是世界的中心且不动，地球在动5,10。《对话》以公开法令查禁；他被判入宗教裁判所的监狱，期限由裁判所决定；作为补赎，三年内每周诵读七篇忏悔诗10。当天，他在罗马密涅瓦圣母堂的修院里宣读弃绝誓词，“诅咒并憎恶”上述错误10。据特拉维夫大学整理的档案，十位审判官里只有七位在判决书上签了名22。
监禁随即改为软禁：先在锡耶纳，1633 年 12 月起回到佛罗伦萨郊外阿切特里的家中，直到去世5。他没有被关进宗教裁判所的牢房，而是被安置在托斯卡纳大使的官邸22。
这场审判不只是“科学对宗教”。斯坦福哲学百科提醒，背景相当复杂：伽利略是美第奇家族的人，又是教皇的私交；反宗教改革和三十年战争让教廷内部的局势很紧张5。但有一点是清楚的：法庭没有讨论任何科学证据。科因指出，1616 年和 1633 年都没有讨论过科学，金星相位、木星卫星、太阳黑子这些观测被完全无视20。
1633 — 1642阿切特里
软禁中的伽利略回到了年轻时的老本行：运动和材料的强度。他把三十多年的力学研究写成《两门新科学》，书在意大利没法出版，1638 年在荷兰莱顿印出，序章介绍过它。同年他双目失明5,3。1641 年，失明的他想到用摆来控制钟表，和儿子温琴佐商量出一个方案，画了图，没来得及造出来23。1642 年 1 月 8 日，他在阿切特里去世3。
1613 — 1638船舱、惯性与抛物线
回到本章开头那个物理上的大窟窿：地球在动，塔上的石头为什么落在塔脚？伽利略的回答分三步，每一步都比上一步走得远。
第一步：大船的船舱
《对话》第二天，萨尔维亚蒂请读者做一个思想实验。和朋友一起关进一艘大船甲板下最大的舱房，带上几只苍蝇、蝴蝶之类会飞的小虫，一碗游着鱼的水，再挂一个瓶子，让水一滴一滴落进下面的窄口瓶里。船停着的时候，仔细看：小虫向各个方向飞得一样快，鱼向各个方向游，水滴落进下面的瓶口；你把东西扔给朋友，往哪个方向扔都不用多使劲；你双脚起跳，往哪个方向跳得都一样远24。
然后让船开动，速度随便多快，只要匀速、不左右摇晃。你会发现，上面这些现象没有一丝一毫的变化，你根本无法从舱里判断船是在走还是停着24。原因是船的运动被舱里的一切共有，包括空气24。
回到高塔：从匀速行驶的船的桅杆顶上放下一块石头，石头保留着和船一起向前的水平运动，落在桅杆脚下。地球带着塔转，塔上的石头也带着同样的水平运动，所以落在塔脚下。塔上落石这个“实验”，对地球动不动给不出任何结论5。书里有人问萨尔维亚蒂做没做过船上的实验，他说，不用做也能确定结果，“因为它必须如此”5。
这就是今天说的伽利略相对性原理：在匀速直线运动的船舱里，一切力学现象都和静止时一样。你在平飞的飞机上倒咖啡，咖啡不会往机尾斜着流，道理相同。将近三百年后，爱因斯坦把这条原理从力学推广到了光和电磁现象，第 27 章会讲。
第二步：惯性，只差一步
船舱的论证里藏着一个比它本身更重要的想法：东西一旦在动，不需要一直推，也会保持运动。1613 年的《太阳黑子书信》里，伽利略写道：放在一个与地球同心的球面上的重物，对静止和向任何方向运动都“漠不关心”，你把它放在什么状态，它就保持什么状态5。《两门新科学》第四天说得更干脆：在一个没有尽头的水平面上，物体会做匀速而且永不停止的运动12。
这离牛顿第一定律只差一步，但这一步很关键。伽利略的“水平面”其实是绕地球的大圆，他心目中保持不变的运动，是绕着地心的圆周运动。史家称之为“圆周惯性”5,25。第一个明确说“运动本身沿直线”的是笛卡尔，他在 1644 年的《哲学原理》里写下两条：物体保持它的状态，一旦运动就一直运动；一切运动本身都是沿直线的25。牛顿把这两条合成第一定律，第 4 章会讲。和第 1 章的冲力说相比，方向已经倒过来了：冲力说认为运动需要一个原因，伽利略和笛卡尔认为，需要原因的是运动的改变。
第三步：把抛物线拆成两半
如果水平方向的运动可以自己保持，那么抛出去的石头就可以拆开来看：水平方向它保持原来的速度，竖直方向它像落体一样越落越快。这两个运动各管各的，互不干扰。《两门新科学》第四天的第一个定理就是这个：匀速的水平运动加上自然加速的竖直运动，合成的轨迹是半条抛物线12。
伽利略什么时候想到这一点的？传统说法是 1604 年以后。马普科学史研究所的伦（Jürgen Renn）等人提出了一个更早的证据26。圭多巴尔多的笔记里记着一个实验：把一个小球蘸上墨水，沿着一块几乎竖直的板斜着往上抛，小球在板上滚出一条墨迹。墨迹是一条对称的曲线，上升和下降两半一模一样，形状像一根两头提着、中间下垂的绳子倒过来26。伦等人论证，这个实验是 1592 年前后伽利略和圭多巴尔多一起做的26。
对称这个结果在当时很难解释。按中世纪的冲力说，抛物体的前半程由手给的冲力主导，后半程由向下的自然运动主导，两种原因不同，轨迹没有理由前后对称26。对称的墨迹暗示，向上和向下是同一种作用在起作用。伽利略还由此认定，悬挂的链条和抛体轨迹一样都是抛物线，这一点他错了：悬链的形状要用双曲函数描述，比抛物线复杂26。
用今天的写法，水平和竖直两个方向分开写：
- x
- 水平方向走了多远（米）
- y
- 离出发点多高（米）
- vx, vy
- 出手时速度的水平分量和竖直分量（米/秒）。初速 v、仰角 θ 时，vx = v cos θ，vy = v sin θ
- g
- 重力加速度，约 9.81 米/秒²
下面的演示把一次抛射拆开。轨迹上的点是相等时间间隔的位置；地面上那排点是它们的“影子”在水平方向的投影，左边竖轴上那排是竖直方向的投影。
把仰角调到 45°，射程最远。再试 30° 和 60°，射程一样。《两门新科学》里，萨格雷多说他早就从炮手那里听说，加农炮和臼炮仰角 45° 时打得最远，现在才明白为什么；萨尔维亚蒂接着说，作者还证明了一件可能从没人在实际中注意到的事：比 45° 高出和低出同样度数的两个仰角，射程相等12。
伽利略也清楚这些定理在战场上不会完全准。空气阻力会让真实的炮弹偏离抛物线。他的态度是：先在没有阻力的理想情况下把定理证明出来，再按经验所示的限度去用12。这个先理想化、再修正的办法，后来成了物理学的标准做法。
影响它怎么改变了世界
伽利略本人没有造出摆钟，也没有解决经度问题。但本章的几条线，从他手里出发，一直通到今天。
伽利略的设想是用摆的固定周期来调节钟23,27。真正做成的是惠更斯。他把自己第一台摆钟的完成日期记作 1656 年 12 月 25 日，1657 年 6 月获得专利28。
惠更斯也知道大摆角会变慢。他在摆的悬点两侧装了两片弯曲的金属夹片：摆幅大的时候，吊线会贴着夹片卷上去，摆就相当于变短了，正好抵消变慢的效应。夹片的形状要算成摆线，这样摆锤走的就是摆线，周期严格不变28。1673 年，他在《摆钟论》里给出了证明29。
结果是计时精度的一次跃升。美国国家标准与技术研究院（NIST）的资料说，惠更斯最早的摆钟一天误差不到 1 分钟，这是人类第一次达到这样的精度；改进后，一天误差不到 10 秒11。1721 年，格雷厄姆加上温度补偿，摆钟做到一天差约 1 秒11。后来的石英钟，精度又远远超过了摆钟和怀表里的摆轮11。今天手机上的时间来自原子钟，第 37 章会讲；但“用一个周期固定的振动来数时间”这个思路，就是从摆开始的。
第 2 章说过，海上测纬度靠看星，测经度则需要知道“此刻在本初子午线那里是几点”。伽利略想到了木星的卫星：它们绕木星转得很快、很规律，哪颗卫星什么时候被木星挡住，在任何地方看都是同一时刻。只要有一张准确的卫星表，木卫就是一只挂在天上、人人都能看的钟。他在 1637 年把这个方案写信提给荷兰人；要比较本地时间，还需要一只准钟，他由此想到用摆来调节钟27。
这个办法首先在陆地上派上了用场。1668 年，意大利天文学家卡西尼发表了精确的木卫表，后来到巴黎主持天文台；法国派出的测量队带着这张表，到各地观测木卫，与当地时间比较，定出许多地方的经度30。惠更斯也在 1662 年和 1686 年把摆钟搬上船试过测经度29。真正在海上解决经度的是 18 世纪哈里森的航海钟，它在摇晃的船上每天只差约五分之一秒，“几乎和陆地上的摆钟一样好”11。
摆最早的实际用途之一在医院里。帕多瓦的医生圣托里奥（Santorio Santorio）用一根标准长度的短摆量病人的脉搏，称为“脉搏计”（pulsilogium）7,23。脉搏快慢从此可以拿一个标准去比，而不只是凭医生手指的感觉。这是谁先发明的，圣托里奥、萨尔皮和伽利略都有人主张，史家至今没有定论7。今天的心率监测早已不用摆，但“把身体的节律变成数字”这个做法，正是从这里开始的。
审判的影响立刻就显现了。1633 年，法国哲学家笛卡尔的著作《世界》已经写好，书里同样采用了日心说。得知伽利略被定罪，他决定不出版，11 月写信给朋友梅森说，他吃惊得几乎要烧掉所有手稿31。审判吓住的，不只是意大利人。
教会的立场改得很慢。1741 年，教皇准许出版伽利略全集，但《对话》必须附上判决书和弃绝书；1757 年，禁书目录删去了对日心说书籍的一般禁令；哥白尼和伽利略本人的著作直到 1835 年才从禁书目录上撤下20。1979 年，教皇约翰·保罗二世呼吁重新研究伽利略案；1981 年成立委员会；1992 年 10 月 31 日，他在宗座科学院讲话，称这是一场“悲剧性的相互不理解”20。委员会成员、梵蒂冈天文台的科因神父认为，这份总结仍有不足20。
伽利略给卡斯泰利的那封信，被发现它的学者之一称为“最早的关于科学自由的世俗宣言之一”21。它提出的问题今天还在：当一个机构的权威和一项研究的结论冲突时，由谁、按什么程序来判断？今天的同行评审、学术自由的制度、科学顾问和政府之间的关系，处理的都是这个问题的不同版本。
伽利略相对性原理说，在匀速运动的船舱里，你做任何力学实验都分不出自己在动。正因为如此，人能在高速巡航的客机里吃饭、倒水、走路，和在地上没两样；也正因为如此，几百年来人们感觉不到地球在转。这条原理后来成了整个物理学的地基之一：牛顿力学默认它，爱因斯坦把它推广到电磁现象和光，得出了狭义相对论（第 27 章）。
误解吊灯、遗言和地牢
这个故事只有维维亚尼一个来源，他是在伽利略死后才写下的，自己也没说是哪一年7。法瓦罗查过，今天被叫作“伽利略之灯”的那盏吊灯，当年还没挂上去7。有据可查的最早文件是 1602 年给圭多巴尔多的信，那时伽利略已经三十八岁6,7。而且他的结论比吊灯故事说的更“过头”：他认为大摆角和小摆角同样等时，这一点是错的。
这句话（Eppur si muove）第一次印出来，是在 1757 年意大利作家巴雷蒂于伦敦出版的一本书里，离审判已经一百二十多年32。1911 年，比利时有人说自己藏有一幅西班牙油画，画于 1643 或 1645 年，画上的伽利略指着墙上写的这句话。后来查明，这幅画其实是 1837 年一位佛兰德画家的作品32。天体物理学家利维奥追查后认为，这句话很可能是后人编的32。当着宗教裁判所的面这么说，后果不堪设想，伽利略不会这么做。
承上启下两条线开始靠拢
上一章结尾，开普勒把行星轨道算成了椭圆，伽利略把望远镜对准了夜空。这一章看到，望远镜给日心说提供了新证据，但证据本身没有一锤定音；而在地面上，伽利略用摆、船舱和抛物线，回答了“地球在动，为什么感觉不到”这个物理问题。
他留下了三块拼图：落体的加速度（序章的斜面）；水平运动可以自己保持（惯性的雏形）；两个方向的运动可以分开算（抛物线）。他没有回答的是：行星为什么绕太阳转？是什么让开普勒的椭圆成立？他也不相信月亮能隔空牵动海水5。
下一章，牛顿把这些拼图拼到一起。第一单元里地上的运动线（第 1 章的冲力、本章的落体与抛体）和天上的运动线（第 2 章的开普勒定律），将在那里会合：让炮弹画出抛物线的那个力，和让月亮绕地球转的力，是同一个。
自测五个问题
1. 两只一样长的摆，一只拉开 5°，一只拉开 60°，同时放手。伽利略认为会怎样？实际会怎样？
2. 一只摆长 1 米的摆，周期约 2 秒。要做一只周期 4 秒的摆，摆长要多少？
3. 金星的相位为什么能否定托勒密体系，却不能否定第谷体系？
4. 在匀速前进的船上，从桅杆顶放下一块石头，它落在哪里？这和“地球在动”有什么关系？
5. 同样的初速，仰角 30° 和 60° 哪个打得远？为什么 45° 最远？
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图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。