天空的秩序：从托勒密到开普勒

时代速写1572 年 11 月的一个傍晚

1572 年 11 月 11 日傍晚，丹麦贵族第谷·布拉赫（Tycho Brahe）从他的炼金作坊里出来，抬头看见仙后座里多了一颗星¹。

仙后座是北半球一年四季都能看见的星座，五颗亮星排成一个歪斜的“W”。现在“W”旁边多出一个亮点，比木星还亮，后来有人在正午的阳光下也看到了它。在当时，白天能看见的星只有金星一颗。今天的天文学家根据记录估算，它最亮时大约是 −4 等²。

第谷不是第一个看到它的人，意大利和德国已经有人早五天注意到了²。他做的事情不一样：他用仪器反复测量这颗新星和周围恒星之间的角度。如果它离地球很近，比如在月亮以内，那么随着地球自转、观测者的位置改变，它相对背景恒星应该会有一点点挪动，这叫视差。月亮就有明显的视差。可这颗新星纹丝不动²。

结论只有一个：它在月亮之外，在恒星所在的那一层天上^1,2。按照统治了欧洲将近两千年的宇宙观，那一层天是永恒不变的。第谷在 1573 年把观测写成一本小书《论新星》（De nova stella）²。今天我们知道，那是银河系里一颗白矮星的爆炸，属于 Ia 型超新星，遗迹距离地球约一万三千光年³。

这颗星大约一年半后才暗到看不见²。它没有推翻什么，却让人开始怀疑：古人对天空的那套解释，究竟是不是对的？这一章就从那套解释讲起。

• 约前 4 世纪欧多克索斯用 27 个同心球解释日月行星的运动，亚里士多德把它扩成 55 个球的宇宙^4,5。
• 约 150托勒密写成《至大论》，本轮、均轮和偏心匀速点，此后用了约 1400 年⁶。
• 2 世纪初东汉张衡著《灵宪》，主张浑天说，造浑天仪^7,8。
• 1259图西在马拉盖建天文台，伊斯兰天文学家开始系统地修补托勒密⁹。
• 1281郭守敬等编的《授时历》颁行，一年取 365.2425 天¹⁰。
• 1543哥白尼《天球运行论》出版，太阳被放到了中心¹¹。
• 1572第谷观测仙后座新星，证明它在月亮之外^1,2。
• 1609开普勒《新天文学》出版，提出行星轨道是椭圆，以及面积定律¹²。
• 1619开普勒《世界的和谐》出版，给出周期和距离之间的第三定律¹²。

前 4 世纪 — 150行星为什么会倒着走

晴朗的夜里看久了，你会发现满天的星星像钉在一口大锅上，整体从东往西转，彼此之间的相对位置一年到头不变。古人把这些叫“恒星”。只有七个天体在这口锅上自己移动：太阳、月亮，以及水、金、火、木、土五颗肉眼可见的行星。

太阳和月亮的移动比较规矩，总是朝同一个方向，相对恒星慢慢往东走。行星就麻烦了。以火星为例：大部分时间它也在恒星背景上缓慢地朝一个方向走；可是大约每两年，它会变得特别亮，然后停下，掉头往回走一段，再停下，再掉头继续往前。在天空里看，它画出一个圈或者一个 Z 字¹³。这种现象叫逆行。

行星为什么会这样走？在今天看来答案不难：地球自己也在绕太阳转，而且比火星转得快，每次地球从内圈“超车”火星，从地球上看过去，火星就好像在往后退¹³。可是在当时，没有人能直接测出地球在动。脚下的大地纹丝不动，扔上去的石头落回原地。说地球在飞奔，听起来比说行星会掉头更荒唐。

所以古代天文学家面对的任务是：假定地球不动，设计一套几何装置，让它能算出行星每天在天上的位置，包括逆行。希腊人还给自己加了一条规矩：天上的运动只能由匀速的圆周运动组合出来^15,11。

约前 4 世纪欧多克索斯：一层套一层的球

第一个给出几何答案的人是希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前 408—前 355）。他设想每个天体都被一组以地球为中心的透明球壳带着转。太阳和月亮各用 3 个球，五颗行星各用 4 个，一共 27 个^4,5。

他的巧妙之处在于把两个球的转轴稍微错开，让它们以相同的速度朝相反方向转。这样，装在里层球上的行星就会走出一个“8”字形的曲线，他称之为“马蹄索”（hippopede），因为它像拴马腿的绳子。再把这个 8 字叠加到一个缓慢向前的总运动上，行星就会时而快、时而慢、时而倒退^4,5。全靠匀速转动，硬是造出了逆行。MacTutor 的数学史作者称这是“天才的一笔”⁴。

约前 4 世纪亚里士多德：把球变成真实的机器

亚里士多德想要的是一台各部分真正相互连接的宇宙机器。他接受了卡利普斯增加 7 个球后的方案，又加了 22 个“反转球”，用来抵消外层行星的运动，免得它传到里层去。这样一共 55 个球，层层相连，构成一台完整的宇宙机器⁵。

亚里士多德的宇宙分成两部分。月亮以下是会生灭变化的世界；月亮以上，天体由一种不会变的物质构成，永远做圆周运动¹。这个划分很重要，第谷那颗新星挑战的就是它。顺便说一句，亚里士多德很清楚地球是个球：月食时，地球投在月亮上的影子边缘总是弯的；人往南走，南方的星座会升得更高¹⁷。

约 150托勒密：本轮、均轮、偏心匀速点

同心球还有一个漏洞。行星的亮度会变，火星逆行时明显更亮，说明它离地球更近了¹³。可是如果它永远在以地球为中心的球面上，距离就不应该变。

公元 2 世纪，住在埃及亚历山大城的托勒密（Claudius Ptolemy）给出了另一套方案。他在 127—141 年间做过观测，大约在 150 年写成一部 13 卷的书，原名《数学汇编》，后来被称为“最伟大的汇编”，阿拉伯学者译作 al-majisti，传到拉丁世界就成了 Almagest，中文译作《至大论》⁶。

托勒密的基本零件有三个⁶：

• 均轮：一个大圆，圆心不在地球上，而是稍稍偏开一点。
• 本轮：一个小圆，它的圆心沿着均轮走；行星则在小圆上转。就像游乐园里的转盘上又装了一个小转杯，坐在转杯里的人，从外面看时而往前冲，时而往回退。当行星转到小圆靠近地球的一侧时，它又近又亮，而且正好在“往回退”。逆行和变亮，一次就解释了。
• 偏心匀速点（equant）：这是托勒密最巧妙也最受争议的发明。本轮圆心在均轮上走的速度并不均匀；它只在从另一个点看过去时才是匀速转动的。这个点和地球分别位于均轮圆心的两侧，距离相等。

偏心匀速点让托勒密的预报准了很多，但它破坏了“匀速圆周运动”的规矩：从圆心看，运动不再匀速。后来一千多年里，很多天文学家对此耿耿于怀¹⁵。

《至大论》里还有一份一千多颗星的星表⁶。托勒密另编了一套更好用的《便捷表》，供人直接查算。这套体系在欧洲和伊斯兰世界用了大约 1400 年，直到哥白尼之后一个世纪才被取代⁶。一个理论能用这么久，靠的就是它能算准，至少在肉眼观测的精度下够准。

2 世纪 — 13 世纪同一片天空，另外两种做法

希腊人的问题是“天的几何结构是什么”。差不多同一时期的中国，天文学家更关心的是把历排准、把天象记全。下面先看中国，再看伊斯兰世界。

汉代盖天说与浑天说

中国古代关于宇宙形状主要有三种说法。盖天说认为天像一把撑开的伞盖，罩在大地上方，伞盖的中心是北极，整个伞盖绕着它旋转。宣夜说认为天没有固定的形状，日月星辰都漂浮在虚空中。浑天说则认为天是一个完整的球壳，像蛋壳一样把大地包在中间⁸。

浑天说最有名的表述，见于传为张衡所作的《浑天仪注》：

浑天如鸡子，天体圆如弹丸，地如鸡子中黄，孤居于内。《浑天仪注》，传为东汉张衡作。MacTutor 张衡传记引用了这段的英译⁷

天像鸡蛋壳，圆得像弹丸；地像蛋黄，独自待在里面。在浑天说里，天可以完整地转到地下去，日月星辰在西边落下后，从地底下绕回东边升起。

78 — 139张衡

张衡是东汉的天文学家、数学家和文学家，做过朝廷主管天文的官员^7,8。他在《灵宪》里统计星数：能叫出名字的星 320 颗，总共约 2500 颗，更暗的小星有 11520 颗⁷。他还解释了月亮为什么有圆缺：“月光生于日之所照，魄生于日之所蔽”⁸。月亮自己不发光，被太阳照到的部分亮，照不到的部分暗。

张衡造过一台浑天仪，是用一组圆环代表天球上各条大圆的仪器⁷。据记载他还造了一台用漏壶流水驱动、能自己跟着天空转动的“漏水转浑天仪”，是有记录的最早的自动天文演示装置之一¹⁸。他 132 年造的候风地动仪更有名⁷，那是另一个故事了。

《尚书》以来观象授时：天文是国家大事

中国天文学和政治的关系特别紧。《尚书·尧典》写尧任命天文官员“历象日月星辰，敬授人时”：观测日月星辰，把季节时令郑重地告诉百姓。英国科学史家李约瑟把这一篇称作中国天文学的“基本宪章”¹⁹。

学者宁晓玉总结说，历代统治者把“钦天授时”看作立国之本：在都城建观象台，造大型仪器，设天文官，组织修改历法，每年编好历书颁布天下。结果是中国保存了三千多年连续的天象记录，先后制定和颁布过一百多部历法¹⁹。

1279 — 1281郭守敬与《授时历》

这套传统在元朝达到一个高峰。1279 年，忽必烈在大都（今北京）建天文台，郭守敬（1231—1316）为它设计了 17 件新仪器，其中 13 件装在大都，4 件可以携带到外地²⁰。他改进了传统的浑仪：老式浑仪环套环，互相遮挡视线，郭守敬把测赤道坐标和测地平坐标的部分拆开，做成结构简单、观测方便的“简仪”。今天南京紫金山天文台陈列的浑仪和简仪，是明朝正统年间照元代式样仿制的，抗战时为防日军劫掠，从北京运到了南京¹⁸。

郭守敬更在意的是测量。中国传统历法把两次冬至之间的时间算作一年，而冬至那天正午的日影最长²¹。量准日影，就能定准冬至，进而算准一年有多长。传统的圭表一般高 8 尺²¹，表越矮，影子越短，读数的误差就越显眼。郭守敬把表做得高大得多，又在表顶装一根横梁，再用一片开有小孔的薄铜片（“景符”），按小孔成像的原理把横梁的影子清清楚楚地投到刻度上，解决了影子边缘模糊的问题^20,21。元朝还在全国设了二十多处观测点²¹。

这些测量汇成了《授时历》，1280 年完成，1281 年起在元朝施行。它取一年为 365.2425 天¹⁰，和三百年后欧洲格里高利历用的数值完全相同；和今天测得的回归年相比，误差约 26 秒^20,21。这部历法后来沿用了三四百年（各家的算法不同，有说 364 年，有说约 400 年）^20,10，还传到了日本：1685 年涩川春海编的贞享历，就是以授时历为基础的¹⁰。

1259 — 1262马拉盖：修补托勒密

在亚洲的另一端，托勒密的书被译成了阿拉伯文，伊斯兰天文学家一边用它，一边挑它的毛病。最集中的一次努力发生在蒙古人治下的波斯。1259 年，学者纳西尔丁·图西（Nasir al-Din al-Tusi，1201—1274）说服蒙古统帅旭烈兀，在今天伊朗西北部的马拉盖建天文台，1262 年开始运转。台里有一架半径 4 米的铜制墙象限仪，藏书丰富。图西带人观测了 12 年，编出《伊儿汗天文表》⁹。

马拉盖学派最在意的是托勒密的偏心匀速点。他们的办法是把那种“看起来不匀速”的运动，拆成两个或更多个真正匀速的圆周运动¹⁵。图西为此发明了一个漂亮的装置，后人称为“图西双轮”：一个小圆在一个直径是它两倍的大圆里面滚动，小圆上的一个点会沿着一条直线来回走。两个匀速圆周运动，加起来变成了直线运动⁹。

这个装置大约 250 年后出现在哥白尼《天球运行论》第三卷第 4 章里⁹。哥白尼还用了马拉盖学派乌尔迪、设拉子，以及大马士革天文学家伊本·沙提尔（1304—1375）发展出的几种装置¹⁵。他是怎样知道这些成果的，是自己独立想到，还是通过某种途径读到了相关内容，史家至今仍有争论⁹。

1514 — 1543哥白尼：让地球动起来

尼古拉·哥白尼（Nicolaus Copernicus，1473—1543）生于波兰的托伦，卒于波兰北部的弗龙堡¹¹。大约在 1508 到 1514 年之间，他得出一个结论：如果让太阳待在中心，让地球像其他行星一样绕太阳转，很多事情会简单得多¹⁵。按斯坦福哲学百科的说法，他最初的不满正是托勒密的偏心匀速点¹⁵。

他先写了一份手稿私下传阅，后人称为《短论》（Commentariolus），列出几条公设：地心不是宇宙的中心；宇宙的中心在太阳附近；恒星每天的东升西落，是地球自转造成的；行星的逆行，是地球运动造成的表观现象¹¹。

最后一条正是本章开头那个问题的答案。下面的演示把两种视角放在一起。左边是从太阳系上方往下看，地球和火星各自绕太阳转；右边把同样的运动换到地球的视角，让地球固定在中心。拖动时间，看右边的火星怎样在天上打出一个圈。

右图里那条红线，就是托勒密的本轮想要描述的东西。从地球看，火星的路径确实像“一个大圆上叠着一个小圆”：小圆来自地球自己一年一圈的公转。哥白尼没有发明新的现象，他换了一个观察点，把托勒密给火星、木星、土星各配一个的那个以一年为周期的本轮，统一归到地球自己身上。

日心的安排还让行星的排列顺序和它们的周期对上了。离太阳越近的转得越快，水星最快，土星最慢，整个体系成了一个有内在联系的整体¹⁵。在托勒密那里，每颗行星的大小比例可以各自调整；在哥白尼这里，所有行星到太阳的相对距离都被锁定了。

1543一本书的出版

《短论》之后，哥白尼又花了将近三十年，把日心说做成一套能和《至大论》比较的完整计算体系。1539 年，年轻的数学家雷蒂库斯来访，在他身边待了两年，劝他把书印出来¹¹。1543 年，《天球运行论》（De revolutionibus orbium coelestium）在纽伦堡由印刷商彼得雷乌斯出版。据说哥白尼在临终的病床上才拿到第一本印好的书，他于当年 5 月 24 日去世¹¹。

书前有一篇没有署名的序言，作者其实是路德派神学家奥西安德尔。序言说，书里的假设“不必是真的，甚至不必是可能的”，只要能算出和观测相符的结果就行^15,11。这等于把日心说降格成了一种计算技巧，而哥白尼本人是把它当真的。

有两件事常被误会。第一，哥白尼仍然坚持天体只做匀速圆周运动，所以他照样需要本轮¹¹。第二，他的体系预报行星位置，并不比托勒密的更准¹⁵。日心说的优势在于结构和谐，不在于数字更准。1551 年，天文学家赖因霍尔德根据哥白尼的参数编出《普鲁士星表》，用的人很多，部分原因是它对 1563 年木星和土星相合的预报更好¹⁵。第谷这样的天文学家欣赏哥白尼的数学，却不接受地球在动¹⁵。至于教会，斯坦福哲学百科指出，到 1600 年天主教还没有对哥白尼体系表过正式态度，它当然也不是异端¹⁵。教会态度后来的转变，第 3 章讲伽利略时再说。

要在托勒密和哥白尼之间做出判决，需要比以往准得多的观测数据。下一个登场的人，正是来做这件事的。

1572 — 1601第谷：把天空量准

回到开头那个傍晚。第谷（1546—1601）出身丹麦贵族。1566 年在德国罗斯托克上学时与另一位丹麦学生决斗，被削掉了一块鼻子，此后一直戴着用金银合金做的假鼻子¹。

1572 年的新星让他出了名。1576 年，丹麦国王腓特烈二世把汶岛（Hven）赐给他，让他建天文台。他在岛上修了天堡（Uraniborg）；仪器越来越多、放不下，1584 年又在旁边修了星堡（Stjerneborg）¹。

1577彗星穿过了天球

1577 年 11 月 13 日，第谷看到一颗大彗星¹。按亚里士多德的说法，彗星是月亮以下大气里的现象。第谷再次测视差，结论是这颗彗星比金星还远¹。

这个结论的分量比新星更重。如果天上真有一层层实心的水晶球，一颗在行星之间穿行的彗星早就把它们撞碎了。第谷由此放弃了实心天球，主张天界是“流动的”⁵。从此以后，行星就像悬在空中独自运动的物体，没有球壳带着它们转。那么是什么在推动它们？这个问题开普勒会接过去。

误差不到 1 角分

第谷没有望远镜，他靠的是大型仪器和反复的观测。后来的研究发现，他的观测误差大多在 0.5 到 1 角分之间¹，也就是满月宽度的三十分之一到六十分之一。NASA 称之为当时最精确的天文观测²³。

第谷自己并不接受日心说。他的折中方案是让月亮和太阳绕地球转，其他行星绕太阳转¹。这个“第谷体系”在几何上和哥白尼体系等价，只是让地球保持静止。

后来第谷离开了丹麦，1599 年在布拉格做了神圣罗马帝国皇帝鲁道夫二世的皇家数学家。在那里，他雇了一位德国来的年轻助手¹。1601 年 10 月 24 日，第谷在布拉格去世¹。那位助手接替他做了皇家数学家¹²。

1600 — 1619开普勒：8 角分与一个椭圆

约翰内斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630）出生在德国西南部的小城魏尔¹²。他是坚定的哥白尼派。1596 年他出版第一本书《宇宙的奥秘》，试图用五种正多面体来解释行星轨道的大小¹²。这个想法后来证明是错的，但它显示了开普勒一生的执念：他要的不只是能算准的模型，还要知道为什么。

大约 1600 年，正在找数学助手的第谷雇用了他¹²。第谷交给他的任务是火星，因为火星的运动最难放进旧体系²³。今天我们知道原因：火星轨道的偏心率是 0.0935²⁴，比地球的 0.0167 大五倍多²⁵，偏离正圆相当明显。这一仗打了好几年，开普勒称之为“我与火星的战争”，留下近千页对开纸的演算稿¹²。

1601 — 1605只差 8 角分

开普勒先在传统框架里做到了极致。他构造了一个模型，后来叫“替代假说”（vicarious hypothesis）：仍然是圆，仍然有偏心匀速点，只是参数调得更聪明。这个模型算出的火星位置，和第谷的数据相差不到 2 角分²⁶。

如果观测数据本身就有十几角分的误差，这样的模型已经无可挑剔。可开普勒用第谷的另一组数据检验时，误差冒到了 8 角分²⁶。8 角分大约是满月宽度的四分之一。开普勒信任第谷的仪器，他知道第谷的误差不会有这么大。所以出问题的只能是模型。他在《新天文学》里写下了一句后来常被引用的话（据斯坦福哲学百科的英译转译）：

单是这 8 角分，就将引出整个天文学的改革。开普勒，《新天文学》，1609²⁶

一个理论和数据之间的分歧，小到肉眼几乎察觉不到，却因为人们知道数据的误差有多大，而被当真对待。序章讲过，测量是物理的第一件工具；在这里，测量第一次逼着人放弃了两千年的“圆”。

1609椭圆，以及扫过的面积

开普勒还有一个与众不同的出发点。前人把行星的运动当成纯几何问题，曲线画得对就行。开普勒相信，行星是被太阳发出的某种力推着走的，这种力离太阳越远越弱²⁶。所以行星离太阳近时应该走得快，远时走得慢。

顺着这个思路，他先找到了一条关于速度的规律，后找到了轨道的形状²⁶。今天按发表顺序编号，它们是：

• 第一定律：行星绕太阳的轨道是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上²³。
• 第二定律：从太阳到行星的连线，在相等的时间里扫过相等的面积²³。

椭圆可以这样画：在纸上钉两颗图钉，套一个线圈，用笔把线绷紧绕一圈。两颗图钉的位置就是两个焦点。图钉离得越远，椭圆越扁；两颗图钉重合时，就是正圆。“扁”的程度用偏心率表示，它等于焦点离中心的距离除以半长轴，从 0（正圆）到接近 1（极扁）。

两条定律都写在 1609 年于海德堡出版的《新天文学》（Astronomia nova）里¹²，椭圆轨道在书的第 59 章第一次出现²⁷。这本书的副标题宣称它是一种“基于天体物理学的新天文学”²⁷。俄克拉何马大学科学史藏品馆的说法是，开普勒把天文学关注的对象从“天球”换成了“轨道”，也就是行星在空间里实际走过的路径¹⁴。下面的演示让你自己调偏心率，看第二定律是什么意思。

把偏心率拉到 0.9 再点播放，会看到行星在近日点附近一闪而过，在远日点附近慢慢挪。地球的轨道接近正圆，近日点和远日点的速度只差 3% 多一点：NASA 给出的地球最大和最小公转速度分别是每秒 30.29 千米和 29.29 千米²⁵。你现在走在地上，也在跟着地球按这条规律时快时慢。

椭圆一出现，本轮、均轮、偏心匀速点全都不需要了。每颗行星一条椭圆，太阳在焦点上，加上面积定律，就能算出它任何时刻的位置。托勒密需要一组圆的地方，开普勒只用一条曲线。

1618 — 1619第三定律：周期与距离

前两条定律说的是每颗行星自己怎么走。开普勒还想知道，不同行星之间有没有一条共同的规律。他找了很多年。按他自己的记述，这个想法 1618 年 3 月 8 日第一次在脑中出现，直到 5 月 15 日才最终确认¹²。它被写进了 1619 年在林茨出版的《世界的和谐》（Harmonices mundi）¹²：

用今天 NASA 的数据检验一下²⁸：

最后两列几乎相等，剩下的一点差别来自表中数字的四舍五入。从水星到土星，距离相差二十多倍，周期相差一百多倍，却被同一个简单的关系串了起来。开普勒没能解释为什么会是平方对立方。这个问题要等到牛顿，第 4 章会讲。

1627 年，开普勒用第谷的数据和自己的定律编成《鲁道夫星表》，在乌尔姆出版¹²。他于 1630 年去世¹²。一年后，这套星表接受了一次公开检验，我们放在下一节讲。

影响它怎么改变了世界

天文学很早就被国家、宗教和商业需要。这一章的故事至少在四个方向上改变了世界。

误解三个流传很广的说法

承上启下从天上的规律到地上的力

上一章讲的是地上的运动：亚里士多德的自然运动和受迫运动，阿基米德的杠杆，中世纪学者的冲力说。这一章讲的是天上的运动。到 1619 年为止，这两条线仍然是分开走的。开普勒已经猜测太阳发出某种力推着行星走，但他说不清这种力究竟是什么、遵守什么规律。

就在开普勒发表《新天文学》的同一年，1609，意大利的伽利略把一架自制的望远镜对准了夜空。他看到的东西会让日心说之争变得更加激烈，最后也把他自己送上了宗教裁判所的审判席。那是第 3 章的故事。

再往后，牛顿在第 4 章把开普勒的三条定律和伽利略的落体规律放进同一个方程：让苹果落地的引力，也让月亮绕着地球、行星绕着太阳转。运动这条线和天空这条线，会在那里会合。

参考来源本章依据

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图片：均来自 Wikimedia Commons，许可见各图说明。